核心素养测评七指数与指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.··的化简结果为()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.原式=··1=····=·=3·20=3.2.(2020·抚州模拟)已知a>b>1,ab=ba,lna=4lnb,则=()A.B.2C.D.4【解析】选D.a>b>1,lna=4lnb⇒lna=lnb4⇒a=b4,ab=ba⇒b4b=ba⇒4b=a⇒=4.3.(2019·武汉模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则()A.b
c>a.4.(a2-a+2021)-x-1<(a2-a+2021)2x+5的解集为()A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)【解析】选D.因为a2-a+2021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.5.(2019·太原模拟)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.00D.00,所以b<0.6.(2020·北京模拟)若ea+πb≥e-b+π-a,则有()A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0【解析】选D.令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.7.(2019·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当00的解集为世纪金榜导学号()A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当00等价于f(x)>f(2),即20等价于f(x)>f(-2),即-20的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)8.指数函数y=f(x)的图像经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=.【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.答案:9.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为,f(x)的值域为.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1(-1,1)10.给出下列结论:①当a<0时,(a2=a3;②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;④若2x=16,3y=,则x+y=7.其中正确结论的序号有.世纪金榜导学号【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解,得x≥2且x≠,所以③正确;因为2x=16,所以x=4,因为3y==3-3,所以y=-3,所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.故②③正确.答案:②③(15分钟35分)1.(5分)(2020·重庆模拟)设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则()A.K的最大值为0B.K的最小值为0C.K的最大值为1D.K的最小值为1【解析】选D.根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1.2.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图像,如图.因为af(c)>f(b),结合图像知00,b<1,所以0<2a<1,2-a>1,所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.【变式备选】(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数的值为.【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24...
