大题规范满分练(一)函数与导数综合问题1.已知函数f(x)=ex-a(x-1),其中a>0,e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.【解析】(1)因为f′(x)=ex-a,因为a>0,由f′(x)=0得,x=lna,所以当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上可得,函数f(x)的单调递增区间为(lna,+∞),单调递减区间为(-∞,lna).(2)因为a>0,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,得b≤f(x)min,因为f(x)min=f(lna)=2a-alna,所以b≤2a-alna.所以ab≤2a2-a2lna,设g(a)=2a2-a2lna(a>0),所以g′(a)=4a-(2alna+a)=3a-2alna,由a>0,令g′(a)=0,得lna=⇒a=,当a∈0,时,g′(a)>0,g(a)单调递增;当a∈,+∞时,g′(a)<0,g(a)单调递减,所以g(a)max=,即ab的最大值为,此时a=,b=.2.已知函数f(x)=4alnx-ax-1.(1)若a≠0,讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)>ax(x+1)在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)依题意,f′(x)=-a=,若a>0,则函数f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减;若a<0,则函数f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.(2)因为f(x)>ax(x+1),故4alnx-ax2-2ax-1>0,①当a=0时,显然①不成立;当a>0时,①化为:<4lnx-x2-2x;②当a<0时,①化为:>4lnx-x2-2x;③令h(x)=4lnx-x2-2x(x>0),则h′(x)=-2x-2=-=-,所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0,x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(1)=-3,因此②不成立,要③成立,只要>-3,a<-,所以所求a的取值范围是-∞,-.
