江苏省金湖县实验中学八年级数学《第十四章 第三节 乘法公式》教案VIP专享VIP免费

乘法公式【典型例题】一.两数和乘以它们的差：1.首先计算：(a＋b)(a－b)＝a2－b2这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。上面所列的这个公式，就是平方差公式。2.公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(－b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。3.弄清公式的变化形式：公式(a+b)(a－b)=a2－b2有八种变化形式：①位置变化(a+b)(a－b)=(b+a)(－b+a)=a2－b2②符号变化(－a－b)(a－b)=b2－a2③系数变化(4a+3b)(4a－3b)=(4a)2－(3b)2=16a2－9b2④指数变化(a2+b2)(a2－b2)=(a2)2－(b2)2=a4－b4⑤增项变化(a－b－c)(a－b+c)=(a－b)2－c2=a2+b2－c2－2ab⑥增因式变化(a+b)(a－b)(－a－b)(－a+b)=(a2－b2)(a2－b2)=(a2－b2)2⑦连用公式变化(a－b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=(a2－b2)(a2+b2)(a4+b4)=(a4－b4)(a4+b4)=a8－b8⑧逆用公式变化(a－b+c－d)2－(a+b－c+d)2=[(a－b+c－d)+(a+b－c+d)][(a－b+c－d)－(a+b－c+d)]=2a·(－2b+2c－2d)=4ac－4ab－4ad。4.注意公式的应用条件：字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。应用时，要紧扣“相同项”和“互为相反项”这两点。例如(3a+b)(a－b)≠3a2－b2，因为左边两个因式中的第一项3a和a不是相同项，不符合平方差公式的条件。而且在运算时要注意要将整个项全部平方。(3a+2b)(3a－2b)≠3a2－2b2(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b25.典型例题：例1.计算：（1）(a+3)(a－3)（2）(2a+3b)(2a－3b)（3）(1+2c)(1－2c)（4）(9x+4y)(9x－4y)解：（1）(a+3)(a－3)=a2－32=a2－9（2）(2a+3b)(2a－3b)=(2a)2－(3b)2=4a2－9b2（3）(1+2c)(1－2c)=12－(2c)2=1－4c2（4）(9x+4y)(9x－4y)=(9x)2－(4y)2=81x2－16y2例2.计算：（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)（3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b3－5mn2)解：（1）(2m－5)(2m+5)－2m(3m－1)=(2m)2－52－6m2+2m=4m2－25－6m2+2m=－2m2+2m－25（2）(2x－5y)(2x+5y)－(2x+3y)(2x－3y)=4x2－25y2－(4x2－9y2)=－16y2（3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b3－5mn2)=(4a2b3+5mn2)(4a2b3－5mn2)(16a4b6+25m2n4)=(16a4b6－25m2n4)(16a4b6+25m2n4)=256a8b12－625m4n8例3.用平方差公式计算：（1）103×97（2）118×122（3）20032－2002×2004解：（1）103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991（2）118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396（3）20032－2002×2004=20032－(2003－1)(2003+1)=20032－(20032－1)=1例4.分析：直接计算是不行的，注意到2－1=1，用1乘以原来的式子值不变，再利用公式可以计算。解：＝……（连续用平方差公式）例5.计算：(2x－3y－1)(－2x－3y+5)分析：初看此题似不符公式的特点，似乎不能应用公式来解，若先将其变形，将“－1”拆成“－3+2”，将“5”拆成“3+2”，便可以应用公式求解。解：原式=[(2－3y)+(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2－12y+12x－5二.完全平方公式：1.计算(a+b)2=a2+2ab+b2利用这个结果，可以直接得出两数和的平方。上面这个算式也就是说：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。计算(a－b)2=a2－2ab+b2利用此结果，可以直接得出两数差的平方。也就是说：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍。2.完全平方公式的结构特征：在和的平方这个公式中，左边是和的平方(a+b)2，右边是平方的和(a2+b2)加上乘积的2倍(2ab)。在差的平方这个公式中，左边是差的平方(a－b)2，右边是平方的和(a2+b2)减去乘积的2倍(2ab)。3.公式的灵活应用：(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2得（1）(a+b)2=(a－b)2+4ab（2）(a+b)2－(a－b)2=4ab（3）(a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2)4.公式应用时的注意事项：（1）公式中a、b既可以是数，也可以是整式。（2）公式有时会逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2a2－2ab+b2=(a－b)2（3）公式中完全平方项的系数全是正数：不能(a－b)2=a2－2ab－b2。5.典型例题：例6.计算：解：（1）(2a+3b)2=(2a)2+2×2a×3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2（3）(2x－3y)2=(2x)2－2×2x×3y+(3...