芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．62．已知向量，若，则等于（）A．B．C．D．3．已知点，则与向量的方向相反的单位向量是（）A．B．C．D．4．在中,,,则等于（）A．或B．C．D．5．若，且，那么是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形6．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（）A．B．C．D．7．设数列中，已知，则()A．B．C．D．28．在数列中，且满足．则（）A．B．C．D．9．已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为（）A．B．C．D．10．在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（）A．B．C．D．11．是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（）A．B．C．D．12．数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．在正三角形中，是上的点，，，则．14．已知向量，，则当时，的取值范围是___________．15．在中，、、分别为、、的对边，如果、、成等差数列，,的面积为，那么_________．16．已知数列满足，，其中为的前项和，则________．三、解答题（本大题共5题，共48分）17．(本题8分)已知三个点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）要使四边形为矩形，求点的坐标，并求矩形两对角线所夹锐角的余弦值．18．(本题8分)如图，在中，点在边上，，，,.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积．19．(本题10分)在各项均为正数的等比数列中，，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．20．(本题10分)在中，角所对的边分别为，已知向量,且。（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围．21．(本题12分)已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）设为数列的前项的和，其中，若不等式对任意的恒成立，试求正实数的取值范围．芜湖一中2015—2016学年第二学期期中考试高一数学答案一:选择题（本大题共12小题，共36分）题号123456789101112答案BDACBBCABBAB二：填空题（本大题共4小题，共16分）13．14．．15．16．三．解答题（本大题共5题，共48分）17解：（Ⅰ）证明：,∴又∵，∴..............4分（Ⅱ）∵，若四边形为矩形，则．设点的坐标为，则有，∴即∴点的坐标为....................................................6分由于设对角线与的夹角为，则．故矩形两条对角线所夹锐角的余弦值为..........................8分．18解：(Ⅰ)在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．在中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为.....................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，．所以，从而,所以．............8分19解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为.由已知得，则解得,所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即........................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以由，得........................................10分20解：（Ⅰ）由，得，即，∴，即，∵，∴．.......................5分（Ⅱ）∵，且，∴，∴．∴，∵，∴，∴，∴．..........................................................10分21解：（Ⅰ）当时，，∴，又时，满足上式，所以．...............................................4分（Ⅱ），当时，，当时，，∴时，，时，，时，，∴中的最大值为．要使对于一切的正整数恒成立，只需，∴．.................................................................8分（Ⅲ），将代入，化简得，（﹡）∵，∴，所以（﹡）化为，整理得，∴对一切的正整数恒成立，易知随的增大而增大，且，∴．...................................................................12分
