安徽省淮北市第五中学高考数学总复习等差数列知识梳理5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：等差数列382420知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.要点诠释：(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d(n2,n∈N※)（d为常数）(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为(3)证数列{}是等差数列的方法：①(n≥2)（d为常数）；②为和的等差中项。考点二、通项公式(归纳法和迭加法)要点诠释：等差数列等差中项等差数列的通项公式及应用等差数列定义1①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b(n)②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，当k=d>0时，{}为递增数列；当k=d<0时，{}为递减数列；当k=d=0时，{}为常数列。考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：、、成等差数列，则；（2）通项公式的推广：（3）若，则；特别，若，则（4）等差数列中，若.【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质例1.（1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,令,解得，所以－20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：,.∴此数列通项公式为：（,）.令,解得：,2∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【解析】由，，∴.【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【解析】 ，∴， ，∴中有14个元素符合条件，又 满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，∴.例2、已知等差数列中，,，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项。【解析】法一：由通项公式，得，∴,由，解得.∴217是此数列的第61项。法二：由等差数列性质得，即,又，∴,得.∴217是此数列的第61项。法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点， 点P(15,33),Q(45,153),R(n,217)在同一条直线上，∴，得。∴217是此数列的第61项。【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。举一反三：3【变式1】等差数列中，已知，a2+a5=4，an=33，则n是（）A.48B.49C.50D.51【答案】C；【解析】由已知得例3．若数列为等差数列，,,求；【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则即解之有：，∴.法二： ,,∴90=10+30d∴,∴.法三： 为等差数列，,,∴,(n∈N).∴解之有，∴.法四： 为等差数列，∴、、、,…为等差数列，∴，又，∴.【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。4举一反三：【变式】若数列为等差数列，,,且公差求；【解析】 为等差数列∴又 ∴、是方程的根∴或（舍去）以下解法同例2（1）得类型二：等差数列的判断与证明【高清课堂：等差数列382420典型例题三】例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得:所以数列是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}...
