利用函数性质解抽象函数问题抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过某些特殊点、部分关系式、部分图象特征等)的函数问题。这类问题的解法常涉及到函数的概念和各种性质，因而具有抽象性、综合性和技巧性等特点，它既是教学中的难点，又是近年来高考的热点。为此，本文从利用函数性质方面谈谈解抽象函数问题。一、利用函数的奇偶性例1．已知函数f(x)=ax5+bsinx+3且f(-3)=7，求f(3)的值。分析：f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(-3)＝7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数。注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)-3是奇函数，可得g(-3)=-g(3),7=f(-3)=g(-3)+3,即g(-3)=4,f(3)=g(3)+3=-g(-3)+3=-4+3=-1。注：这种解法运用了整体思想，化整体为局部，再由局部问题的解决使整体问题得解。二、利用函数的单调性例2．设函数f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>1，且对任意m,n∈R，有f(m+n)=f(m)f(n)，当m≠n时，f(m)≠f(n)。(1)证明：f(0)=1；(2)证明：f(x)在R上是增函数；(3)A={(x,y)|f(x2)f(y2)0。由已知得f(x2-x1)>1。∵x1≥0时，f(x1)≥1。当x1<0时，-x1>0，f(-x1)>1,f(0)=f(x1+(-x1))=f(x1)×f(-x1),∴,即对任意的x1，总有f(x1)>0,∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)×f(x2-x1)>f(x1)。∴f(x)在R上为增函数。(3)∵f(x2+y2)=f(x2)f(y2)0，即可解得b<0，选A。
