专题03导数一.基础题组1.【2010全国新课标,文4】曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为…()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2【答案】:A【解析】y′|x=1=(3x2-2)|x=1=1,因此曲线在(1,0)处的切线方程为y=x-1.2.【2010全国2,文7】若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【答案】:A3.【2007全国2,文8】已知曲线24xy的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】:A4.【2012全国新课标,文13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为__________.【答案】:4x-y-3=05.【2005全国3,文15】曲线32xxy在点(1,1)处的切线方程为.【答案】x+y-2=0【解析】'223yx,1k,∴切线方程为11(1)yx,即20xy.6.【2010全国新课标,文21】设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.二.能力题组1.【2013课标全国Ⅱ,文21】(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.2.【2005全国2,文21】(本小题满分12分)设a为实数,函数32()fxxxxa.(Ⅰ)()fx的极值;(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线()yfx与x轴仅有一个交点.当()fx的极大值527a<0,即5(,)27a时,它的极小值也小于0,因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。当()fx的极小值a-1>0即a(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-13)上。∴当5(,)27a∪(1,+∞)时,曲线y=()fx与x轴仅有一个交点。三.拔高题组1.【2014全国2,文11】若函数fxkxInx在区间1,单调递增,则k的取值范围是()(A),2(B),1(C)2,(D)1,【答案】D2.【2013课标全国Ⅱ,文11】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0【答案】:C3.【2014全国2,文21】(本小题满分12分)已知函数32()32fxxxax,曲线()yfx在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当1k时,曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点.4.【2012全国新课标,文21】设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.5.【2010全国2,文21】已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.6.【2007全国2,文22】(本小题满分12分)已知函数f(x)=31ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。7.【2005全国3,文21】(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?