专题03导数一．基础题组1.【2010全国新课标，文4】曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为…()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2【答案】：A【解析】y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，因此曲线在(1,0)处的切线方程为y＝x－1.2.【2010全国2，文7】若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1【答案】：A3.【2007全国2，文8】已知曲线24xy的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】：A4.【2012全国新课标，文13】曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________．【答案】：4x－y－3＝05.【2005全国3，文15】曲线32xxy在点（1，1）处的切线方程为.【答案】x+y-2=0【解析】'223yx，1k，∴切线方程为11(1)yx，即20xy.6.【2010全国新课标，文21】设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．二．能力题组1.【2013课标全国Ⅱ，文21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.2.【2005全国2，文21】(本小题满分12分)设a为实数，函数32()fxxxxa．(Ⅰ)()fx的极值；(Ⅱ)当a在什么范围内取值时，曲线()yfx与x轴仅有一个交点．当()fx的极大值527a<0，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当()fx的极小值a－1>0即a(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(－∞，－13)上。∴当5(,)27a∪(1，+∞)时，曲线y=()fx与x轴仅有一个交点。三．拔高题组1.【2014全国2，文11】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,【答案】D2.【2013课标全国Ⅱ，文11】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】：C3.【2014全国2，文21】（本小题满分12分）已知函数32()32fxxxax，曲线()yfx在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当1k时，曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点.4.【2012全国新课标，文21】设函数f(x)＝ex－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)＜0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.5.【2010全国2，文21】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．6.【2007全国2，文22】（本小题满分12分）已知函数f(x)=31ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.（1）证明a＞0;（2）若z=a+2b,求z的取值范围。7.【2005全国3，文21】(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
