立体几何089．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1）在图1中，取BE中点D，连结DF.AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600,∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1,∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又图1图2∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴.∵MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得在△FMQ中，∴二面角B－A1P－F的大小为解法二:（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.10．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC（2）求二面角B－AC－D的大小（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。解法一:(1)方法一:作面于,连又,则是正方形.则方法二:取的中点,连、,则有解法二:（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则(2)设平面的法向量为则由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,三面角的大小应等于<>则<>,即所求二面角的大小是.11．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小．解析:.(1)取的中点,连、、则面,的长就是所要求的距离.、，，在直角三角形中，有（另解：由ＡＯＥＣＢ(2)取的中点，连、，则∥是异面直线与所成的角.求得:(3)连结并延长交于,连结、.则就是所求二面角的平面角.作于,则在直角三角形中,在直角三角形中,<>所以异面直线与所成的角.(3)设平面的法向量为则由知:由知:取由(1)知平面的法向量为则<>.结合图形可知,二面角的大小为:.
