数列1415.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即16.在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（）x（0＜a＜10）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn＋1，bn＋2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（Ⅲ）（理）设Bn＝b1，b2…bn（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛Bn｝的最大项的项数.（文）设cn＝lg（bn）（n∈N）.若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛cn｝前多少项的和最大?试说明理由.（Ⅱ） 函数y=2000（）x（0＜a＜10）递减，∴对每个自然数n，有bn＞bn＋1＞bn＋2则以bn，bn＋1，bn＋2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn＋2＋bn＋1＞bn，即（）2＋（－1）＞0，解得a＜－5（1＋）或a＞5（－1），∴5（－1）＜a＜10．（Ⅲ）（理） 5（－1）＜a＜10，∴a=7，bn＝2000（）．数列｛bn｝是一个递减的正数数列.对每个自然数n≥2，Bn＝bnBn－1．于是当bn≥1时，Bn≥Bn－1，当bn＜1时，Bn＜Bn－1，因此，数列｛Bn｝的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn＋1＜1.由bn＝2000（）≥1，得n≤20.8，∴n=20.17.已知｛an｝是等差数列，a1＝－393，a2＋a3＝－768，｛bn｝是公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列，b1＝2，且｛bn｝的各项和为20.（Ⅰ）写出｛an｝和｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）试求满足不等式≤－160b2的正整数m.解：（Ⅰ）设｛an｝的公差为d，则a2＋a3＝2a1＋3d，故2×（－393）＋3d=－768，解得d=6，∴an＝－393＋6（n－1）＝6n－399．由S==20，得q=，bn＝2·（）n－1（n∈N）．（Ⅱ） a1＋a2＋…＋am＝ma1＋＝－393m＋3m（m－1），∴am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝（a1＋a2＋…＋a2m）－（a1＋a2＋…＋am）＝－393×（2m）+6m（2m－1）+393m－3m（m－1）=9m2－396m. －160b2=－288，∴9m2－396m≤－288（m＋1），m2－44m≤－32（m＋1），即（m－4）（m－8）≤0，解得4≤m≤8，又m∈N，从而m=4，5，6，7，8.18.设{an}为等比数列，Tn=na1+（n－1）a2+…+2an－1+an，已知T1=1，T2=4.（1）求数列{an}的首项和公比；（2）求数列{Tn}的通项公式.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则T1=a1，T2=2a1+a2=a1（2+q）又T1=1，T2=4，∴a1=1，q=2.（2）解法一：由（1）知：a=1，q=2，∴an=a1·qn－1=2n－1∴Tn=n·1+（n－1）·2+（n－2）·22+…+2·2n－2+1·2n－1①2Tn=n·2+（n－1）·22+（n－2）·23+…+2·2n－1+1·2n②②－①得Tn=n·2+（n－1）·22+…+2·2n－1+2n－n·1+(n－1)2+…+2·2n－2+1·2n－1］=－n+2+22+…+2n－1+2=－n+=2n+1－（n+2）19.已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），该数列｛xn｝由f（xn）=n（n=1，2，…）定义.（Ⅰ）求x1、x2和xn的表达式；（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.（Ⅰ）解：依题意f（0）=0，又由f（x1）＝1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b0＝1的线段，故由＝1得x1＝1．又由f（x2）＝2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由＝b，即x2－x1＝得x2＝1＋．记x0＝0，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn－1，故得．又f（xn）＝n，f（xn－1）＝n－1；∴xn－xn－1＝（）n－1，n＝1，2，…．由此知数列｛xn－xn－1｝为等比数列，其首项为1，公比为．因b≠1，得xn＝，即xn＝．（Ⅲ）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立.用数学归纳法证明：（ⅰ）由（Ⅱ）知当n=1时，在（1，x2］上，y=f（x）=1+b（x－1），所以f（x）－x=（x－1）（b－1）＞0成立.（ⅱ）假设n=k时在（xk，xk＋1］上恒有f（x）＞x成立.可得f（xk＋1）＝k＋1＞xk＋1，在（xk＋1，xk＋2］上，f（x）＝k＋1＋bk＋1（x－xk＋1），所...
