数列1627.设An为数列｛an｝的前n项和，An=（an－1）（n∈N*），数列｛bn｝的通项公式为bn=4n+3（n∈N）.（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若d∈｛a1，a2，a3，…，an，…｝∩｛b1，b2，b3，…，bn，…｝，则称d为数列｛an｝与｛bn｝的公共项，将数列｛an｝｛bn｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛dn｝，证明数列｛dn｝的通项公式为dn=32n+1（n∈N*）；（Ⅲ）设数列｛dn｝中第n项是数列｛bn｝中的第r项，Br为数列｛bn｝的前r项的和，Dn为数列｛dn｝的前n项和，Tn=Br+Dn，求.（Ⅲ）解：由题意，32n+1=4r+3，所以r=（32n－1）易知∴28.设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=.证明：{an}是等差数列.解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，所以同理有从而整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.29.设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.（Ⅰ）写出数列｛an｝的前三项；（Ⅱ）求数列｛an｝的通项公式（写出推证过程）；（Ⅲ）令bn=（n∈N*），求（b1+b2+…+bn－n）.解：（Ⅰ）由题意，an＞0令n=1时，S1=a1解得a1=2，令n=2时有S2=a1+a2解得a2=6，令n=3时有S3=a1+a2+a3解得a3=10故该数列的前三项为2、6、10.整理ak+12－4ak+1+4－16k2=0由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4（k+1）－2这就是说n=k+1时，上述结论成立.根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.解法二：由题意有，（n∈N*）整理得Sn=（an+2）2由此得Sn+1=（an+1+2）2所以an+1=Sn+1－Sn=（an+1+2）2－（an+2）2］整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0由题意知an+1+an≠0，所以an+1－an=4即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2，公差d=4，所以an=a1＋（n－1）d=2+4（n－1）即通项公式an=4n－2.评述：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.30.已知数列｛an｝满足条件：a1=1，a2=r（r＞0）且｛an·an+1｝是公比为q（q＞0）的等比数列，设bn=a2n－1+a2n（n=1，2，…）（Ⅰ）求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+2（n∈N*）成立的q的取值范围；（Ⅱ）求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；（Ⅲ）设r=219．2－1，q=，求数列｛｝的最大项和最小项的值.解：（Ⅰ）由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1由题设r＞0，q＞0，故上式q2－q－1＜0所以，由于q＞0，故0＜q＜（Ⅱ）因为所以=q≠0b1=1+r≠0，所以｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=（1+r）qn－1（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=（1+r）qn－1从上式可知当n－20.2＞0时n≥21（n∈N）时，cn随n的增大而减小，故1＜cn＜c21=1+=2.25①当n－20.2＜0，即n≤20（n∈N）时，cn也随着n的增大而减小，故1＞cn＞c20=1+②综合①、②两式知对任意的自然数n有c20≤cn≤c21故｛cn｝的最大项c21=2.25，最小项c20＝－4．评述：本题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，推理能力以及分解问题和解决问题的能力.
