2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2【解析】向量(1－m,1)是直线的方向向量，所以斜率为，则＝－，解得m＝－1或m＝2.【答案】D2．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是()A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．两组对边均不平行的四边形【解析】因为AD＝(8,0)，BC＝(8,0)，所以AD＝BC，因为BA＝(4，－3)，所以|BA|＝5，而|BC|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．【答案】B3．在△ABC中，点O是△ABC外任一点，若(OA＋OB＋OC)＝OG，则点G是△ABC的()【导学号：00680062】A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】因为(OA＋OB＋OC)＝OG，所以GA－GO＋GB－GO＋GC－GO＝3OG，化简得GA＋GB＋GC＝0，故点G为三角形ABC的重心．【答案】D4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同方向的是()A．B．＋C．D．－【解析】因为D为BC边的中点，则有AB＋AC＝2AD，所以a＋b与AD共线，又因为与a＋b共线，所以选项A正确．【答案】A5.如图253所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()图253A．100焦耳B．50焦耳C．50焦耳D．200焦耳【解析】设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．故选B．【答案】B二、填空题6．在边长为1的正三角形ABC中，AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝________.【导学号：70512039】【解析】AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝AB·(BC＋CA)＋BC·CA＝AB·BA－CA·CB＝－AB2－|CA||CB|cos60°＝－12－1×1×＝－.【答案】－7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图254所示，已知物体的重力大小为10N，则每根绳子的拉力大小是________．图254【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N.【答案】10N三、解答题8．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程．【解】(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设点M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE，DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可得直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB，CN·AB＝0，CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求高线CH所在直线的方程．9．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0s时分别在P0，Q0处，问当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少？【导学号：70512040】【解】e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为.3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．依题意，|P0P|＝t，|Q0Q|＝t，∴P0P＝|P0P|＝(t，t)，Q0Q＝|Q0Q|＝(3t,2t)，由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，∴P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3)．∵PQ⊥P0Q0，∴P0Q0·PQ＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2，∴当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2s.[能力提升]1．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OA＋OC)＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【解析】因为(PB－PC)·(OB＋OC)＝0，则(OB－OC)·(OB＋OC)＝0，所以OB2－OC2＝0，所以|OB|＝|OC|.同理可得|OA|＝|OC|，即|OA|＝|OB|＝|OC|，所以O为△ABC的外心．【答案】B2.如图255，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．图255【解】如图，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8,4)，N(4,2)．设点E(e,0)，则AM＝(8,4)，AN＝(4,2)，AE＝(e,0)，EN＝(4－e,2)，由AM⊥EN得AM·EN＝0，即(8,4)·(4－e,2)＝0，解得e＝5，即|AE|＝5，所以S△AEM＝|AE||BM|＝×5×4＝10.
