2.5.1平面几何中的向量方法1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.答案:A2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=()A.1B.C.D.2解析:建立如图的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).∵AC⊥BC,∴.∴=-1+a2=0,∴a=1(负值舍去).答案:A3.在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足=2,则=()A.18B.3C.15D.12解析:如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x,y),则=(x,y-3),=(x-3,y),∵=2,∴∴M(6,-3),∴=(6,-3)·(3,0)=18.答案:A4.(2016·江西吉安一中期中)已知点O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三点,若()·(-2)=0,则△ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形解析:设BC的中点为D,∵()·(-2)=0,∴·(2-2)=0,∴·2=0,∴,故△ABC的BC边上的中线也是高线.故△ABC是以BC为底边的等腰三角形.答案:B5.(2016·山东临沂期中联考)设四边形ABCD为平行四边形,||=3,||=4,若点M,N满足=3=2,则=()A.-1B.0C.1D.2解析:如图,=-=-=-=-.∴×32-×42=0.答案:B6.导学号08720074(2016·河南南阳期中)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.解析:因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.答案:A7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是.解析:∵=(3,6)=,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵=(4,-2)·(3,6)=0,∴四边形ABCD为矩形.∵||==2,||==3,∴S=||||=2×3=30.答案:308.在△ABC中,C=,AC=1,BC=2,则f(λ)=|2λ+(1-λ)|的最小值是.解析:以C为原点,CA,CB所在直线分别为y轴,x轴建立平面直角坐标系,所以=(0,1),=(2,0),即2λ+(1-λ)=(0,2λ)+(2-2λ,0)=(2-2λ,2λ),所以f(λ)=2,故f(λ)的最小值为,在λ=时取得.答案:9.已知△ABC中,A=60°,AB=1,AC=3,则cos∠ACB=.解析:设a=,b=,则cos∠ACB==.答案:10.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n的值为.解析:)=.∵M,O,N三点共线,∴=-,∴m+n=2.答案:211.在Rt△ABC中,AB⊥AC,用向量法证明:AB2+AC2=BC2.证明:如图,由已知可得.两边平方,得-2.∵AB⊥AC,∴.∴=0,∴,即AB2+AC2=BC2.12.导学号08720075已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ),又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以,所以,又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
