2.5平面向量应用举例自主广场我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形思路解析： A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴=(1,1),BC=(-4,2),=(-3,3). ·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即∠A=90°.∴△ABC为直角三角形.答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为_____________.思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解.设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知或故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F1(3,4)、F1(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：设物体在力F作用下位移为S,则所做的功为W=F·S.解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳).W2=F2·=(6,-5)(-13,-15)=-3（焦耳）.（2）W=F·=(F1+F2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13.-15)=-102（焦耳）.4.如图2-5-9，在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.图2-5-9思路分析：根据D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,得=.从而求出A点坐标,B、C、G点的坐标求法与此类似.解：设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.∴=,∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2),∴解得∴A(0,4).同理，可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.设G(x2,y2),由=2,得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2).∴∴G(2,).5.设a、b、c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证以a、b、c的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a、b、c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如下图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=++=a+b+c=0.∴B与D重合,故向量a、b、c能构成一个三角形.(2)设向量a、b、c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即++=0. a=-,b=-,c=-，∴a、b、c有下列四种关系之一即可：①a+b-c=0;②a+b+c=0;③a-b-c=0;④a-b+c=0.6.如图2-5-10所示，△ABC三边长为a、b、c,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a·b≤|a||b|求解.解： +=,+==-,∴·=(-)·(--)=-+·+·-·-r2+·+·(-)=·+·-r2=cbcos∠BCA+·-r2. r、a、b、c,∠BAC均为定值,故当且仅当·有最大值时，·有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0°，有·=ra.∴当∥,且与反向时,·有最大值bccos∠BAC+ar-r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由·=0,得AB⊥BC,又=,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C8.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(-2,1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=____________.思路解析：应用垂直的条件列方程即可. P0(-1,2),Q0(-2,1),∴=(-1,-3).又 e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=. 3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t), PQ⊥P0Q0,∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2.答案：29.如图2-5-11,已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||，即O为△ABC的重心.证明：由于++=0,∴=-（+）,即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设与交于E点,则=，=,∴AE是△ABC的中线,且||=2||,故O是△ABC的重心.10.在△ABC内求一点P,使+的值最小.思路分析：根据已知条件,可设=a,=b,再把+表示成关于向量CP=x的函数,进而求出该函数的最小值.解：如下图,设=a,=b,CP=x...
