2.5平面向量应用举例A级基础巩固一、选择题1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2N和4N，则F3的大小为()A．6NB．2NC．2ND．2N解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2(N)．答案：D2．平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．答案：D3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A．100焦耳B．50焦耳C．50焦耳D．200焦耳解析：设小车位移为s，则|s|＝10米．WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．答案：B4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，AC·AB＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析：因为BD＝AD－AB＝AC－AB.所以BD2＝＝AC2－AC·AB＋AB2＝()2，即AC2＝1.所以|AC|＝2，即AC＝2.答案：B5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.解析：由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.答案：C二、填空题6．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝＝＝5(km/h)．答案：57．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB·AC＝4×4·cosA＝8，所以cosA＝，所以∠A＝，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形8．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．解析：由F1＋F2＋F3＝0，可得F1＋F2＝－F3，所以(－F3)2＝(F1＋F2)2，化简可得：F＝F＋F＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所以2F1·F2＝－1，所以|F1－F2|＝＝＝＝.答案：三、解答题9．在直角坐标平面xOy内，已知向量OA＝(1，5)，OB＝(7，1)，OM＝(1，2)，点P为满足OP＝tOM(t∈R)的动点，当PA·PB取得最小值时，求：(1)向量OP的坐标；(2)cos∠APB的值．解：(1)因为OP＝tOM＝(t，2t)，PA＝OA－OP＝(1－t，5－2t)，PB＝OB－OP＝(7－t，1－2t)，所以PA·PB＝(1－t)(7－t)＋(5－2t)(1－2t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.当PA·PB取得最小值时，t＝2，所以OP＝(2，4)．(2)因为PA＝(－1，1)，PB＝(5，－3)，|PA|＝，|PB|＝，所以cos∠APB＝＝－.10．一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．解：如图，设AD表示船垂直于对岸的速度，AB表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝2，所以|AC|＝＝＝4，所以tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.故船实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60°.B级能力提升1．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：DB＋DC－2DA＝(DB＋AD)＋(DC＋AD)＝AB＋AC，所以(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0.即AB2＝AC2，所以|AB|＝|AC|.答案：B2．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J(g取9.8m/s2)．解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．答案：0983．如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8，4)，N(4，2)．设点E(e，0)，则AM＝(8，4)，AN＝(4，2)，AE＝(e，0)，EN＝(4－e，2)，由AM⊥EN得AM·EN＝0，即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即|AE|＝5.所以S△AEM＝|AE||BM|＝×5×4＝10.
