2.5平面向量应用举例1自我小测1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于()A．－16B．－8C．8D．162．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．形状无法确定3．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝()A．1B.C.D．24．设O，A，B，M为平面上四点，＝＋，则()A．点B在线段AM上B．点M为线段BA的靠近B的三等分点C．点M为线段BA的中点D．O，A，B，M四点共线5．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则点B的坐标为()A．(2，－5)B．(7，－3)C．(－2,5)或(2，－5)D．(7，－3)或(3,7)6．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是__________．7．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是__________．8．已知△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝3，则cos∠ACB＝__________.9．在Rt△ABC中，AB⊥AC，用向量法证明：AB2＋AC2＝BC2.10．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.参考答案1.解析：因为cosA＝，所以·＝||||cosA＝AC2＝16.答案：D2.解析：∵(＋)·(－)＝0，∴2－2＝0，2＝2.∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．答案：C3.解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．∵AC⊥BC，∴⊥.∴·＝－1＋a2＝0，∴a＝1(负值舍去)．答案：A4.解析：∵＝＋，∴＝＋－.∴－＝－，∴BM＝BA.∴点M，A，B三点共线，且M为线段BA靠近B的三等分点．答案：B5.解析：设＝(x，y)，则||＝||＝＝，①又⊥，得5x＋2y＝0，②解①②得或∴＝(2，－5)或＝(－2,5)．设B(x0，y0)，则＝(x0－5，y0－2)，∴或得或即点B的坐标为(7，－3)或(3,7)．答案：D6.解析：＝－＝(3,6)＝.又∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴四边形ABCD为矩形．∴||＝＝2，||＝＝3.∴S＝||||＝2×3＝30.答案：307.解析：以C为原点，CA，CB所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，即2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2，故f(λ)的最小值为，在λ＝时取得．答案：6.解析：设a＝，b＝，则cos∠ACB＝＝＝＝＝.答案：9.证明：如图，由已知可得－＝.两边平方，得2＋2－2·＝2.∵AB⊥AC，∴⊥.∴·＝0，∴2＋2＝2，即AB2＋AC2＝BC2.10.解法一：设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝1，＝a＋b.设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.由AE⊥BD，得·＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0，解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.解法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2,0)，则A，D.设E(m,0)，则＝，＝，由AE⊥BD，得·＝0，即－×＝0，解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.
