2.5平面向量应用举例【基础练习】1．(2018年重庆模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则AB·AC＝()A．8B．－8C．4D．－4【答案】A【解析】如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cosA＝＝，∴AB·AC＝|AB|×|AC|×cosA＝4×|AC|×＝8.故选A．2．已知平行四边形ABCD中，若AB＝(3,0)，BC＝(2,2)，则S▱ABCD＝()A．6B．10C．6D．12【答案】A【解析】∵AB＝(3,0)，BC＝(2,2)，∴|AB|＝3，|BC|＝4，AB·BC＝3×4×cos(π－∠ABC)＝6.∴cos∠ABC＝－，∴sin∠ABC＝.∴S▱ABCD＝3×4×＝6.故选A．3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足PA＝PB＋PC，则的值为()A．1B．C．D．2【答案】A【解析】因为PA＝PB＋PC，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．因为D为线段BC的中点，所以D为线段PA的中点，的值为1.故选A．4．(2018年四川达州模拟)在△ABC中，AB·AC＝AC2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形【答案】D【解析】∵AB·AC＝AC2，∴AB·AC－AC2＝AC·(AB－AC)＝AC·CB＝0.∴AC⊥CB.∴C＝90°.∴△ABC是直角三角形．故选D．5．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是________．【答案】－11【解析】∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．【答案】【解析】以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，所以sinθ＝.又|β|≤1，所以≥，即sinθ≥.又θ∈[0，π]，所以θ∈.7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点．用向量法证明CD＝AB．【证明】∵D是AB的中点，∴CD＝(CA＋CB)．∴CD2＝(CA＋CB)2＝(CA2＋CB2＋2CA·CB)．又∠C＝90°，∴CA·CB＝0，AB2＝CA2＋CB2.∴CD2＝AB2.∴|CD|＝|AB|，即CD＝AB．8．已知在静水中船速为5m/s且船速大于水速，河宽为20m，船从点A垂直到达对岸的B点用的时间为5s，试用向量法求水流的速度大小．【解析】设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际行驶速度|v|＝＝4(m/s)，则v水＋v0＝v，v0＝v－v水，又v与v水垂直，即v·v水＝0，∴25＝|v－v水|2＝|v|2＋|v水|2＝|v水|2＋16.∴|v水|＝3，即水流速度为3m/s.【能力提升】9．(2018年安徽马鞍山三模)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足PM·PN＝0，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C．[－25,25]D．[－5,5]【答案】D【解析】两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满足PM·PN＝0，则直线3x－4y＋m＝0与以MN为直径的圆x2＋y2＝1相交，即原点(0,0)到直线3x－4y＋m＝0的距离小于等于半径，即≤1，解得－5≤m≤5.故选D．10．已知O，N，P在△ABC所在的平面内且|OA|＝|OB|＝|OC|，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，NA＋NB＋NC＝0，则点O，P，N依次是△ABC的()A．重心，外心，垂心B．外心，垂心，重心C．外心，重心，垂心D．内心，重心，外心【答案】B【解析】因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以O到顶点A，B，C的距离相等，即O为△ABC的外心．由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，得(PC－PA)·PB＝0，即AC·PB＝0，所以AC⊥PB．同理可证AB⊥PC，所以P为△ABC的垂心．若NA＋NB＋NC＝0，则NA＋NB＝－NC，取AB的中点E，则NA＋NB＝2NE＝CN，所以2|NE|＝|CN|，即N是△ABC的重心．故选B．11．(2019年广东广州越秀区期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4，AD＝，若AB·AC＝4，BE＝EC，则AE与BC的夹角的余弦值是________．【答案】－【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系．设DC＝m，则A(0,0)，B(4,0)，C(m，)，所以AB＝(4,0)，AC＝(m，)．所以AB·AC＝4m＝4，解得m＝1.由BE＝EC，可得E为BC的中点，E，所以AE＝.又BC＝(－3，)，所以cos〈AE，BC〉＝＝＝－.12．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F，求证：AF＝AE.【证明】如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．再设E(x，y)，由BE∥AC，AC＝CE，得AC∥BE，结合AC＝(2,2)，BE＝(x－2，y)，所以解得或结合题意得E(3＋，1＋)，则CE＝(＋1，－1)，AE＝＝2＋2.设F(a,0)，则CF＝(a－2，－2)．由E，C，F共线，设CF＝kCE，则解得a＝－2－2.所以AF＝|a|＝2＋2.所以AF＝AE.
