高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例达标训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例更上一层楼基础•巩固1.已知|a|=1，|b|=2，c=a+b,且c⊥b,则向量a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°思路分析:设a与b的夹角为θ,∵c⊥b，∴(a+b)·b＝0.∴a2+a·b=0.∴|a|2+|a||b|cosθ=0.∴1+2cosθ=0.∴cosθ=.∴θ=120°.答案:C2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则()A.|v1|＜|v2|B.|v1|＞|v2|C.|v1|≤|v2|D.|v1|≥|v2|思路分析:要使船垂直到达对岸，则v1在与水流垂直方向上的分量应与v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.答案:B3.已知A(3，2)、B(-1，-1)，若点P(x，)在线段AB的中垂线上，则x=__________.思路分析:利用中点坐标公式可得A、B的中点，设其为M，则与垂直，据此即得结论.答案:4.如图2-5-12所示，已知A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.图2-5-12解法一：设=s·=(4s，4s)，=(4s-4，4s-0)=(4s-4，4s)，=(2-4，6-0)=(-2，6).由∥及向量共线的条件可得(4s-4)×6-4s×(-2)=0.解之,得s=.所以=(4s，4s)=(3，3)，P点的坐标为(3，3).解法二：设点P的坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(4，4).∵、共线，∴4x-4y=0.①又∵=(x-2，y-6)，=(2，-6)，且向量、共线，∴-6(x-2)-2(y-6)=0.②由①②解得x=3，y=3.故点P的坐标为(3，3).5.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1，0)、B(4，3)、C(2，4)、D(m，n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形?(A、B、C、D依逆时针方向排列)解：由条件知=(3，3)，=(-2，1)，=(m-1，n)，=(2-m，4-n)，如图.(1)若ABCD为平行四边形，则=.所以(3，3)=(2-m，4-n)，3=2-m且3=4-n.解得m=-1，n=1.所以当m=-1，n=1时，ABCD为平行四边形.(2)由于m=-1，n=1时，=(3，3)，=(-2，1).||=，||=，||≠||.因此，使ABCD为菱形的m、n不存在.(3)当m=-1，n=1时，·=(3，3)·(-2，1)=-3≠0，即AB、AD不垂直，因此使ABCD为矩形的m、n不存在.综合•应用6.如图2-5-13所示，PQ过△OAB的重心G，=a，=b，=ma，=nb，求证：.图2-5-13证明：∵M是AB边的中点，∴=(+)=(a+b).∴=×=×(a+b)=a+b.由=nb-ma，=a+b-ma=(-m)a+b.∵，∴.整理得mn=(m+n)，即.7.如图2-5-14，=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，图2-5-14(1)若∥，求x与y间的关系式；(2)若又有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积.解：(1)∵=++=(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(4+x，y-2)，∴=(-4-x，2-y).由∥,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0，即x+2y=0.(2)∵=+=(6，1)+(x，y)=(6+x，y+1)，=+=(x，y)+(-2，-3)=(x-2，y-3)，由⊥，∴(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-x，代入上式得x2+4x-12=0.解得x1=-6，x2=2.相应求得y1=3，y2=-1，即或如右图,S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=||||+||||=||||,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),∴||=8或4,||=4或8.∴S四边形ABCD=16.8.如图2-5-15，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN=AC，在AB上取点M，使得AM=AB，在BN的延长线上取点P，使得NP=BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ=CM.用向量的方法证明P、A、Q三点共线.图2-5-15证明：如图，，，∴=.又∵A是公共点，∴P、A、Q三点共线.9.四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为，求四面体的体积.思路分析:用向量解决立体几何问题，能使复杂问题简单化，据题，只要求出BD即可得到四面体的体积，所以可将四面体置于空间直角坐标系加以分析.解:如图所示建立空间直角坐标系，由题意有A(0，2，0)、C(2，0，0)，E(1，1，0).设D点的坐标为(0，0，z)(z＞0)，则={1，1，0}，={0，-2，z}.设与所成的角为θ，则·==-2，且AD与BE所成角的余弦值为，∴cos2θ=.∴z=4.∴VA—BCD=||||||=.∴四面体ABCD的体积为.回顾•展望10.(2006青岛统考)过点A(2，3)，且垂直于向量a=(2，1)的直线方程为()A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0思路分析:设出所求直线上一点P的坐标，由题可得应该与向量a垂直，根据向量垂直的条件即得点P坐标满足的条件，也就是所求的直线方程.答案:A