2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【基础练习】1．平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若a⊥b，则x＝()A．－1B．1C．－4D．4【答案】A【解析】∵平面向量a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，a⊥b，∴a·b＝－2－2x＝0，解得x＝－1.故选A．2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝.∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝.3．(2019年福建厦门模拟)已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝()A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】a＝(1,1)，b＝(2，m)，则a－b＝(－1,1－m)，由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，解得m＝0，所以b＝(2,0)，|b|＝2.故选D．4．(2019年安徽淮北模拟)已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为()A．B．∪(2，＋∞)C．D．(－2,2)【答案】B【解析】若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a，b不平行．由a·b＝－2λ－1<0，得λ>－.若a，b平行，则－2＋λ＝0，即λ＝2.综上，可得λ>－且λ≠2.故选B．5．(2018年山东临沂二模)已知向量a＝(3，－2m)，b＝(m＋1,2)，c＝(－2,1)，若(a－c)⊥b，则实数m＝________.【答案】－3【解析】∵向量a＝(3，－2m)，b＝(m＋1,2)，c＝(－2,1)，∴a－c＝(5，－2m－1)．∵(a－c)⊥b，∴(a－c)·b＝5m＋5－4m－2＝0，解得m＝－3.6．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.【答案】44【解析】∵a＝(－4,3)，∴2|a|2＝2×()2＝50，a·b＝－4×1＋3×2＝2.∴2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.7．已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)且a∥b，a⊥c.求：(1)x，y的值；(2)|b－c|的值．【解析】(1)∵向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)，又a∥b，∴3x＋8＝0，解得x＝－.∵a⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝.(2)由(1)得b＝，c＝，∴|b－c|＝＝.8．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)．(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围．【解析】(1)由题意可得，2a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(1－x,1)，若(2a＋b)∥(a－b)，则有(2＋x)×1－(1－x)×5＝0，解得x＝.(2)由题意可得(2a＋b)·(a－b)＝(2＋x,5)·(1－x,1)＝－x2－x＋7＞0，可得＜x＜.再由2a＋b与a－b不共线，可得x≠.综上，x的取值范围为∪.【能力提升】9．(2019年广东广州模拟)a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值为()A．－B．－C．D．【答案】B【解析】由a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，可得2b＝(2,4)－(0,8)＝(2，－4)，则b＝(1，－2)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.故选B．10．(2018年安徽模拟)已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|且(a＋b)⊥(3a－2b)，则a与b的夹角为()A．B．C．D．π【答案】B【解析】非零向量a，b满足|a|＝|b|且(a＋b)⊥(3a－2b)，则(a＋b)·(3a－2b)＝0，∴3|a|2＋a·b－2|b|2＝0.∴3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0.∴3×|b|2＋|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝.∴a与b的夹角为.故选B．11．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．【答案】3【解析】∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，－x≥－1.∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.12．(2019年江苏模拟)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosα－sinα，cosα＋sinα)．(1)求向量a与b的夹角；(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．【解析】(1)∵a＝(2cosα，2sinα)，b＝(cosα－sinα，cosα＋sinα)，∴|a|＝＝2，|b|＝＝，a·b＝2cosα(cosα－sinα)＋2sinα(cosα＋sinα)＝2(cos2α＋sin2α)＝2.∴cos〈a，b〉＝＝＝.(2)∵(λb－a)⊥a，∴(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－22＝0，解得λ＝2.
