2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)·b=()A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)·b=a2-a·b+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,则|2a+3b|等于()A.1B.4C.3D.2解析:∵a∥b,∴m=-4,b=(-2,-4).∴2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).∴|2a+3b|==4.答案:B4.(2016·广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:∵向量a=(1,1),b=(2,-3),∴ka-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).∵ka-2b与a垂直,∴(ka-2b)·a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵b在a方向上的投影为2,则=2,∴=2,解得x=-2,∴b=(-2,2).设a,b的夹角为θ,则cosθ=.∵0≤θ≤π,∴θ=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,则|a|=.解析:∵a=(1,n),b=(-1,n),a·b=2,∴-1+n2=2,∴n2=3.∴|a|2=1+n2=4,∴|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=.解析:a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,∵a与b的夹角为45°,∴cos45°=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值是.解析:∵∠C=90°,∴,∴=0.又=(2-k,2),∴2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)||的值;(3)cos∠BAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以||==2.(3)因为=(-1,1)·(1,5)=4,||=,||=,所以cos∠BAC=.10.导学号08720071已知向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(1,x)·(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为a∥b,所以1×(-x)-(2x+3)×x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4a·b+4=12,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cosθ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A.B.C.D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).∵a在b方向上的投影为3,∴=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:∵a=(2,4),b=(-1,2),∴a·b=-2+8=6.∴c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).∴|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=.解析:设b=(x,y).∵|b|==1,∴x2+y2=1.∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.∴4x2-6x+2=0.∴2x2-3x+1=0.∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.∵(1,0)是与x轴平行的向量,∴b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求的最小值.解:∵a=(,-1),b=,∴a·b=-1×=0.∵|a|==2,|b|==1,a·b=0,∴a⊥b.∵x⊥y,∴[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0,即-ka2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)a·b=0.∴k=.∴(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7.导学号08720072平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.解:(1)设=(x,y).∵点Q在直线上,∴向量共线.又=(2,1),∴x=2y,∴=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-y),∴=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,故当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2).(2)由(1)知,=(-3,5),=(1,-1),=-8,||=,||=,cos∠AQB==-.
