课时作业21平面向量数量积的物理背景及其含义——基础巩固类——一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(D)A.B.C．3D．2解析：设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ＝，所以a·b＝|a||b|cosθ＝×3＝2，故选D.2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(B)A.B.C.D.解析：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×＋4＝3，所以|a＋2b|＝.3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于(D)A．－a2B．－a2C.a2D.a2解析：由题意得|BD|＝a，BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a·a·＝a2，选D.4．已知a，b，c，d为不共线的非零向量，且a＋b＝c，a－b＝d，则下列说法正确的个数为(D)(1)若|a|＝|b|，则c·d＝0；(2)若c·d＝0，则|a|＝|b|；(3)若|c|＝|d|，则a·b＝0；(4)若a·b＝0，则|c|＝|d|.A．1B．2C．3D．4解析：(1)由|a|＝|b|，可知以a，b为邻边的四边形是菱形，则c·d＝0，正确；(2)由c·d＝0，可得(a＋b)·(a－b)＝0，即a2＝b2，则|a|＝|b|，正确；(3)由|c|＝|d|，可知以a，b为邻边的四边形是矩形，则a·b＝0，正确；(4)由a·b＝0，可知以a，b为邻边的四边形是矩形，则|c|＝|d|，正确．故选D.5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(A)A.B.C.D．π解析：由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2，又|a|＝|b|，所以a·b＝32－2b2＝b2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.6．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝(C)A．20B．15C．9D．6解析：选择AB，AD为基向量， BM＝3MC，∴AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋AD，又DN＝2NC，∴NM＝NC＋CM＝AB－AD，于是AM·NM＝(AB＋AD)·(AB－AD)＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16|AB|2－9|AD|2)＝9.二、填空题7．已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝9.解析：因为OA⊥AB，|OA|＝3，所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝|OA|2＋OA·AB＝|OA|2＝32＝9.8．已知平面向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝2.解析： 平面向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，∴|a|2＋4|b|2＋4a·b＝12，即|a|2＋4＋4|a|·|b|cos＝12，即|a|2＋2|a|－8＝0，即(|a|－2)(|a|＋4)＝0，则|a|＝2或|a|＝－4(舍)，故|a|＝2.9．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为.解析：由题意可得a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke－2e＋(1－2k)e1·e2＝k－2＋(1－2k)×1×1×cos＝2k－＝0，解得k＝.三、解答题10．已知单位向量m和n的夹角为60°.(1)试判断2n－m与m的关系并证明．(2)求n在n＋m方向上的投影．解：(1)(2n－m)⊥m，证明：(2n－m)·m＝2n·m－m2＝2cos60°－1＝0.所以(2n－m)⊥m.(2)|n＋m|2＝n2＋m2＋2|n||m|cos60°＝3，所以|n＋m|＝，所以n在n＋m方向上的投影为＝＝＝.11．已知e1、e2是夹角为120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.(1)求a·b的值；(2)求a＋b与a－b的夹角的大小．解：(1)a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)＝6e－13e1·e2＋6e＝6－13cos120°＋6＝.(2)设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝0，所以θ＝90°，即a＋b与a－b的夹角为90°.——能力提升类——12．O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC是(B)A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形解析：设BC的中点为M，则化简(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，得到CB·(AB＋AC)＝CB·(2AM)＝2CB·AM＝0，即CB·AM＝0，∴CB⊥AM，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．13．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(B)A.B.C.D.解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，即a·b≤|a|2.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝≤＝，∴θ∈.14．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，则a·b＋b·c＋c·a＝－.解析： |a|＝|b|＝|c|＝1，且a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋2a·b＝3c2，即2＋2a·...
