2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A级基础巩固一、选择题1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝()A．(－3，6)B．(3，－6)C．(6，－3)D．(－6，3)解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，由于|b|＝3，所以|b|＝＝＝3，所以λ＝－3，所以b＝(－3，6)．答案：A2．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.B.C.D.解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|a|，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|a|2，所以|b|2＝3|a|2.设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：D3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a·c＝0，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：由⇒⇒所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．所以|a＋b|＝.答案：B4．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于()A．－B.C.D．3解析：由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，则BC为外接圆的直径，所以∠BAC＝90°，|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，所以∠ABC＝30°，且|AB|＝|BC|sin60°＝，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝×cos30°＝.答案：C5．在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|得AB⊥AC，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．由E，F为BC边的三等分点，所以AE＝AB＋BC＝AB＋AC，AF＝AC＋CB＝AB＋AC，因此AE·AF＝·＝AB2＋AC2＋AB·AC＝×4＋×1＝.答案：B二、填空题6．(2016·北京卷)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．解析：由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：7．若|a|＝2，b＝(，)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b＝(，)，所以|b|＝2.因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0，所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，所以a·b＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为.答案：8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．解析：由于a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a与b不共线同向．由a·b>0⇒－3λ＋10>0，解得λ<.当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－，因此λ的取值范围是λ<且λ≠－.答案：三、解答题9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，所以cosθ＝＝＝.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.10．设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若四边形OABC是平行四边形(其中O为原点)，求∠AOC.解：因为四边形OABC是平行四边形，所以OA＝CB，即(4，a)＝(b－a，8－b)，所以解得所以A(4，2)，C(2，6)，OA＝(4，2)，OC＝(2，6)．所以OA·OC＝4×2＋2×6＝20，|OA|＝＝2，|OC|＝＝＝2.所以cos∠AOC＝＝＝.因为0<∠AOC<π，所以∠AOC＝.B级能力提升1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)．因为AC·AB＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|AC|＝，|AB|＝，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C2．设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为，则实数m＝________．解析：因为a＝(1，)，b＝(m，)．所以|a|＝＝2，|b|＝，a·b＝m＋3.又a，b的夹角为，所以m＋3＝2×，解得m＝－1.答案：－13．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．因为向量ka＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝.(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，所以解得k>－且k≠.
