2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【基础练习】1．(2019年北京房山区模拟)已知a为单位向量且a，b的夹角为，a·b＝1，则|b|＝()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由题意得|a|＝1，〈a，b〉＝，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|cos＝1，所以|b|＝2.故选B．2．(2018年北京一模)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()A．1B．C．2D．3【答案】D【解析】∵|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×＝－3.∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得m＝3.故选D．3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．2B．4C．6D．12【答案】C【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72.∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72.∴|a|2－2|a|－24＝0.又|a|≥0，∴|a|＝6.4．(2019年四川成都月考)已知|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为()A．B．C．1D．【答案】A【解析】因为|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，则a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝.故选A．5．已知向量a，b满足|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b＝________.【答案】【解析】∵a在b方向上的投影是，∴|a|cos〈a，b〉＝，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝×3＝.6．在平面上给定非零向量e1，e2满足|e1|＝3，|e2|＝2，e1，e2的夹角为60°，则|2e1－3e2|的值为________．【答案】6【解析】∵|2e1－3e2|2＝4|e1|2－12e1·e2＋9|e2|2＝4×9－12×3×2×＋9×4＝36，∴|2e1－3e2|＝6.7．已知向量a，b的夹角为60°且|a|＝2，|b|＝1，若c＝a－4b，d＝a＋2b，求：(1)a·b；(2)|c＋d|.【解析】(1)a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×＝1.(2)∵c＋d＝2a－2b，∴|c＋d|＝＝＝2＝2＝2.8．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角是60°.(1)求(a＋b)·(a－2b)的值；(2)求|2a－b|的值．【解析】(1)∵|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角是60°，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3cos60°＝3，|a|2＝4，|b|2＝9.∴(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝－17.(2)|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝16－12＋9＝13，∴|2a－b|＝.【能力提升】9．(2019年贵州模拟)如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB·(AC＋AE)＝()A．8B．12C．16D．20【答案】D【解析】由题意得DC＝AB，则AC＝AD＋AB，AE＝(AC＋AB)＝AD＋AB，所以AC＋AE＝AD＋AB.所以AB·(AC＋AE)＝AB·＝AB·AD＋AB2＝0＋×42＝20.故选D．10．(2019年山西吕梁模拟)如图，|OA|＝2，|OB|＝，|OC|＝4，OA与OB的夹角为135°，若OC＝λOA＋4OB，则λ＝()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得OA·OB＝2cos135°＝－2.由OC＝λOA＋4OB，可得OC2＝λ2OA2＋16OB2＋8λOA·OB，则16＝4λ2＋32－16λ，所以λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2.故选B．11．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AB·BC＝2，则BC＝________.【答案】2【解析】BC＝AC－AB，则AB·BC＝AB·AC－AB2＝2，∴AB·AC＝2＋42＝18.∴BC2＝(AC－AB)2＝AC2＋AB2－2AB·AC＝24＋16－2×18＝4.∴BC＝|BC|＝＝2.12．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.(1)求a·b；(2)向量a＋λb与向量λa－b的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．【解析】(1)a·b＝|a||b|cos＝1×2×＝1.(2)(a＋λb)·(λa－b)＝λa2＋(λ2－1)a·b－λb2＝λ＋λ2－1－4λ＝λ2－3λ－1.因为a＋λb与向量λa－b的夹角为钝角，所以(a＋λb)·(λa－b)＜0.令λ2－3λ－1＜0，得＜λ＜.若a＋λb与λa－b共线，则a＋λb＝μ(λa－b)，无解．所以实数λ的取值范围为.
