课时分层作业(二十一)(建议用时：60分钟)一、选择题1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于()A.B.C．1＋D．2B[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝.]2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝()A．2B.C．2D．4B[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0D[∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.B．－C．±D．1A[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝.]5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为()A.B.C.D.C[|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos〈a，b〉＝＝＝.]二、填空题6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________．[由已知得向量a在向量b上的投影|a|cosθ＝3×＝.]7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝______.5[|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案为5.]8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cosθ＝0，|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cosθ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cosθ＝0，故cosθ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.]三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)AD·BC；(2)AB·CD；(3)AB·DA.[解](1)AD·BC＝|AD|2＝9；(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.(1)求|b|.(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．[解](1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，故θ＝.1．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于()A.B.C.D.C[设向量a，b的夹角为θ，∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cosθ－12＝0，解得cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为，故选C.]2．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是()A．a为单位向量B．a⊥bC．b∥BCD．(4a＋b)⊥BCACD[△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则a＝AB，AB＝2，所以|a|＝1，即a是单位向量；A正确；a，b夹角为120°，故B错误；因为AC＝AB＋BC＝2a＋b，所以BC＝b，C正确；(4a＋b)·BC＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝－4＋4＝0；故D正确．故选ACD.]3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|＜|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．①③④[根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.5或－8[因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.]5．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解]由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0.即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7
