2.5.1平面几何中的向量方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.在四边形ABCD中，·=0，且，则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0得AB⊥BC,又,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C2.已知A(1，2)、B(2，3)、C(-2，5)，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴=(1,1),=(-4,2),=(-3,3).∵·=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AC,即∠A=90°.∴△ABC为直角三角形.答案：A3.向量方法解决几何问题的“三步曲”是：①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________.答案：形到向量向量的运算向量和数到形10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知O为△ABC所在平面内的一点，满足｜｜2+｜｜2=｜｜2+｜｜2=｜｜2+｜｜2，则O是△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心解析：设=a，=b,=c,则=c-b，=a-c，=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2，化简可得c·b=a·c，即(b-c)·a=0，即·=0,故⊥，即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.答案：C2.以原点和点A(4，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，则向量的坐标为________.解析：设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知或故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.如图2-5-1所示，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，G是它的重心，已知D点的坐标是(1，2)，E点坐标是(3，5)，F点坐标是(2，7)，求A、B、C、G的坐标.图2-5-1解：设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.∴=.∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).∴即∴A(0,4).同理可得B(2,0),C(4,10).连结AE，则AE过点G.设G(x2,y2),由得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),∴即∴G(2,).4.如图2-5-2所示，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证：EF∥BC.图2-5-2证明：设=a，=b.∵∥，∴=λ=λb，则=b-a.∵E为BD的中点，∴==(b-a).∵F为AC的中点，∴+=+()=()=()=(λb-a).∴=(λb-a)(b-a)=(λ)b=［(λ)·］.∴∥，即EF∥BC.5.如图2-5-3所示，已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证：AC⊥BD.图2-5-3证法一：∵,，∴·=()·()=||2-||2=0.∴⊥,即AC⊥BD.证法二：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，C(c，0)，则由|AB|=|BC|得a2+b2=c2.∵=(c，0)-(a，b)=(c-a，-b)，=(a，b)+(c，0)=(c+a，b)，∴·BD=c2-a2-b2=0.∴⊥，即AC⊥BD.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知任意四边形ABCD中，E是AD中点，F为BC中点，求证：=().证明：∵，又，∴.∴=().2.已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，求证：A、B、C三点共线.证明：∵=(2，4)，=(1，2)，∴.∴∥，且与有公共点B.∴A、B、C三点共线.3.设a、b、c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0，求证：以a,b,c的模为边，必构成一个三角形；(2)如果向量a、b、c能构成一个三角形，问它们应该有怎样的关系?答案：(1)证明：如图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=a+b+c=0∴B与D重合,故向量a,b,c能构成一个三角形.(2)解：设向量a,b,c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有,即=0.∵a=,b=,c=，∴a,b,c有下列四种关系之一即可：①a+b-c=0；②a+b+c=0；③a-b-c=0；④a-b+c=0.4.用向量法证明：三角形的三条高线交于一点.证明：如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H.证法一：设=a，=b，=h，则=h-a，=h-b，=b-a，∵⊥，⊥，∴(h-a)·b=0，(h-b)·a=0.∴(h-a)·b=(h-b)·a.化简得h·(b-a)=0.∴⊥.∴AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点.证法二：设=a，=b，=c，则=b-a，=c-a，=b-c，∵⊥，⊥，∴b·(c-a)=0，c·(b-a)=0.∴b·(c-a)=c·(b-a).∴a·b=a·c，即a·(b-c)=0.∴⊥，故AD、BE、CF交于一点.5.如图2-5-4所示，PQ过△OAB的重心G，=a，=b，=ma，=nb，求证：=3.图2-5-4证明：∵M是AB边的中点，∴=()=(a+b).∴=×=×(a+b)=a+b.由=nb-ma，=a+b-ma=(-m)a+b.∵∥，∴.整理得mn=(m+n)，即=3.6.如图2-5-5所示，已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若=0，求证：O是△ABC的重心.图2-5-5证明：由于=0,∴=-(),即是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则,,∴AE是△ABC的中线,且||=2||,故O是△ABC的重心.
