2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为()A．B．C．3D．2【解析】由数量积的几何意义知a·b＝×3＝2，故选D．【答案】D2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于()A．－2B．－1C．1D．2【解析】因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B．【答案】B3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】C4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()【导学号：00680056】A．B．C．D．【解析】|a－b|＝＝＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选A．【答案】A5．已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是()A．－25B．25C．－24D．24【解析】因为|AB|2＋|BC|2＝9＋16＝25＝|CA|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝AB·BC＋CA(BC＋AB)＝0＋CA·AC＝－AC2＝－25.【答案】A二、填空题6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．【解析】∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝.【答案】7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.【解析】∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】5或－8三、解答题8．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．【证明】∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠，∴(a＋b)⊥(a－b)．9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.【解】(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.又|a|＝1，∴|b|＝.∵a·b＝，∴|a|·|b|cosθ＝，∴cosθ＝，∴向量a，b的夹角为45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝，∴|a－b|＝.[能力提升]1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．B．C．D．【解析】∵Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b夹角)．若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤，又0≤θ≤π，∴≤θ≤π.【答案】B2．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.【导学号：70512036】【解】∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝.∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，|a|＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝，∴cosθ＝＝－×＝－.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.
