2.3.1平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．答案：B2．在菱形ABCD中，∠A＝，则AB与AC的夹角为()A.B.C.D.解析：由题意知AC平分∠BAD，所以AB与AC的夹角为.答案：A3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2DC，设AB＝a，AC＝b，则AD可用基底a，b表示为()A.(a＋b)B.a＋bC.a＋bD.(a＋b)解析：因为BD＝2DC，所以BD＝BC.所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.答案：C4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝3PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析：由已知BP＝3PA，得OP－OB＝3(OA－OP)，整理，得OP＝OA＋OB，故x＝，y＝.答案：D5．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC答案：A二、填空题6．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP＝________．解析：因为OP＝OP1＋P1P＝OP1＋λPP2＝OP1＋λ(OP2－OP)＝OP1＋λOP2－λOP，所以(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2.所以OP＝OP1＋OP2＝a＋b.答案：a＋b7．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．解析：如图，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝，OA⊥AB，所以△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.答案：45°8．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由解得答案：3a－4b3b－2a三、解答题9．如图所示，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC＝OD＋OE.在直角△OCD中，因为|OC|＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|OD|＝4，|CD|＝2，故OD＝4OA，OE＝2OB，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如图所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若AB＝a，AD＝b，试以a，b为基底表示DE，BF，CG.解：DE＝AE－AD＝AB＋BE－AD＝a＋b－b＝a－b.BF＝AF－AB＝AD＋DF－AB＝b＋a－a＝b－a.如图所示，连接DB，延长CG，交BD于点O，点G是△CBD的重心，故CG＝CE＋EG＝CB＋EG＝CB＋ED＝－b－＝－a－b.B级能力提升1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP＝BA，若OP＝xOA＋yOB，则x－y＝________．解析：因为OP＝OB＋BP＝OB＋BA＝OB＋(BO＋OA)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.所以x－y＝－.答案：－3．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得，⇒所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以⇒所以c＝2a＋b.(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.所以⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.
