2.3平面向量的基本定理及坐标表示自主广场我夯基我达标1．向量,,的终点A,B,C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,=r，则下列等式成立的是()A.r=-p+qB.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2p思路解析：由=-3,得-=-3(-)，即2=-+3，∴=-+，即r=-p+q.答案：A2．设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用、表示为()A.=+λB.=λ+(1-λ)C.=D.=+思路解析：由=λ(λ≠1)得-=λ(-)，即=.答案：C3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A,C则等于()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)思路解析：∵点P在对角线上，∴与共线.又=+,=λ(+).当P与A重合时，λ=0；当P与C重合时，λ=1.答案：A4．若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-a+bB.a-bC.a-bD.-a+b思路解析：可用待定系数法，令c=ma+nb,则(-1,2)=(m,m)+(n,-n),即m+n=-1,m-n=2.解得m=,n=-．答案：B5．题中所给向量共线的有()A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(,-)C.(1，0)，(0，1)D.(1，-3)，(8，)思路解析：将所给坐标代入公式，看“x1y2-x2y1=0”是否成立即可．答案：B6．与a=(12,5)平行的单位向量为()A.(,)B.(-,)C.(,)或(-,)D.(±,±)思路解析：令所求向量为（x,y）,∴12y-5x=0,且x2+y2=1,解得或答案：C我综合我发展7.(2006山东高考卷，文4)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)思路解析：4a=（4，-12），3b-2a=（-8，18）.设向量c=（x，y），依题意，得4a+（3b-2a）+c=0，所以4-8+x=0，-12+18+y=0，解得x=4，y=-6.答案：D8.已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设∠BAC的平分线与相交于E，那么有=λ,其中λ等于（）A.2B.C.-3D.-思路解析：∵为∠BAC的平分线，∴=2.∴=-2.∴=-=-2-=-3.答案：C9.(2006北京高考卷，文11)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则的值等于______________.思路解析：=(a-2,-2)，=(-2,b-2)，依题意，有（a-2）·（b-2）-4=0，即ab-2a-2b=0,所以=.答案：10.已知|a|=10,b=(3,4),a∥b,则向量a=________________．思路解析：首先设a=(x,y)，然后利用|a|=10,a∥b,列出含x、y的两个等式，解出x、y.答案：(6,8)或(-6,-8)11.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边上的三等分点，则=______________,=______________.思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,BE=，转化为已知向量即可．答案：m+nm+n12.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为__________________．思路解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程．答案：x+2y-5=013.已知向量u=(x,y)，v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)来表示．(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(2)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标．思路分析：此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算.(1)证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)解：设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴解得∴c=(2p-q,p).
