2.3平面向量的基本定理及坐标表示典题精讲例1如图2-3-2，在平行四边形ABCD中，M、N分别为、的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-2思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点,得=b,=a.从△ABN和△ADM中可得解得即=(2d-c)，=(2c-d).绿色通道：从解答本题的过程来看，策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组的知识解得和.变式训练如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列叙述中错误的有（）①λe1+μe2（λ、μ∈R）可以表示平面α内的所有向量②对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ、μ有无数多对③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）④若实数λ、μ使λe1+μe2=0，则λ=μ=0A.①②B.②③C.③④D.②思路解析：由平面向量基本定理可知命题①④为真命题，而命题②是假命题.当λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2），当λ1=λ2=μ1=μ2时，对任意实数λ，均有λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）.因此，命题③也是假命题.答案：B例2已知平面内三个点A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),求,,+,2+.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解： A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10).2+=2(6,2)+(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8).绿色通道：本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.变式训练已知ABCD中，A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，则D的坐标为()A.(-3，-5)B.(-3，5)C.(5，-5)D.(-2，5)思路解析：设D(x,y)， 四边形ABCD是平行四边形，∴=.又 =(4,0)，=(1-x,-5-y)，∴1-x=4且-5-y=0.∴x=-3,y=-5.答案：A例3用坐标法证明++=0.思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.证明：设A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2).∴++=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=（b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2）=(0，0)=0.∴++=0.绿色通道：这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0.变式训练求证：=0.思路分析：这个证明过程完全是n个点坐标的计算，无需考虑点A1、A2、…、An是共线还是不共线的位置关系.证明：设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),…An(xn,yn)，则=(x2-x1,y2-y1)，=(x3-x2,y3-y2),…，=(x1-xn,y1-yn),∴=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)+…+(x1-xn,y1-yn)=(x2-x1+x3-x2+…+x1-xn,y2-y1+y3-y2+…+y1-yn)=(0,0).∴=0.例4（2006湖南高考卷，文10）如图2-3-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x,y）可以是（）图2-3-3A.(,)B.(-,)C.(-,)D.()思路分析：据平面向量基本定理和平行四边形法则对各选项进行验证。选项A，P在OB下；选项B，P在OM上；选项D，P在AB延长线上方，均不符合P在阴影部分的要求.答案：C黑色陷阱：解题中应注意避免忽略点P的位置范围而引发错误.向量是近几年高考的热点，复习过程中要注意正确理解向量的相关知识及其应用.变式训练一船以每小时8千米的速度向东航行，船上人测得风自北方来，若船速加倍，则测得风自东南方来，求风速.思路分析：船上人测得的风速是风对船的相对速度，明白了这个道理解决这个问题就很简单了.解：分别取正东、正北方向为x、y轴建立直角坐标系，令x、y轴正方向上的单位向量为i、j，则风速可表示为xi+yj，第一次船速为8i，船上人测得的风速为-pj(p＞0).∴xi+yj+8i=-pj.∴x=-8.第二次船速为16i，船上人测得的风速为-q(i+j)(q＞0).∴xi+yj+16i=-q(i+j).∴x+16=-q=y.∴y=-8.∴风速为8i-8j...
