2.3平面向量的基本定理及坐标表示1自我小测1．设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()①与；②与；③与；④与.A．①②B．①③C．①④D．③④2．已知向量a与b的夹角为，则向量2a与－3b的夹角为()A.B.C.D.3．在矩形ABCD中，O为对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则＝()A.(5e1＋3e2)B.(5e1－3e2)C.(3e2－5e1)D.(5e2－3e1)4．若D点在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为()A.B.C.D.5．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A．m>0，n>0B．m>0，n<0C．m<0，n>0D．m<0，n<06．在等边△ABC中，O为△ABC所在平面上一点，且2＝＋，则与的夹角为________．7．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝__________，μ＝__________.8．在正方形ABCD中，设＝a，＝b，则以a，b为基底时，可表示为________．9．设e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底．(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．10．如图所示，在▱ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示与.参考答案1.解析：寻找不共线的向量组即可．答案：B2.解析：∵a与2a同向，b与－3b反向，∴向量2a与－3b的夹角和a与b的夹角互补，∴向量2a与－3b的夹角为.答案：C3.解析：如图，＝＝(－)＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．答案：A4.解析：∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝3×－＝.答案：C5.解析：如图所示，利用平行四边形法则，将分解到和OP2上，有OP＝＋，则＝m，＝n，很明显与方向相同，则m>0；与方向相反，则n<0.答案：B6.解析：∵2＝＋，∴O为BC的中点．又∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，∴与的夹角为.答案：7.解析：由条件可知解得答案：－8.解析：设正方形ABCD的对角线交点为O，则＝2＝2(＋BO)＝2＝2＋＝2a＋b.答案：2a＋b9.(1)证明：假设a，b共线，则a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得即所以λ不存在，故a，b不共线，即a，b可以作为一组基底．(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以解得故c＝2a＋b.10.解：在△AMD中，＝＋＝－＝－＝c－；在△ABN中，＝＋＝－＝－＝d－.则有＋＝c，＋＝d，两式联立解得＝d－c，＝c－d.
