课时作业17向量数乘运算及其几何意义——基础巩固类——一、选择题1.－等于(A)A．a－b＋2cB．5a－b＋2cC．a＋b＋2cD．5a＋b解析：－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c，故选A.2．若5AB＋3CD＝0，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是(D)A．平行四边形B．菱形C．矩形D．等腰梯形解析：由5AB＋3CD＝0知，AB∥CD且|AB|≠|CD|，∴此四边形为梯形．又|AD|＝|BC|，∴梯形ABCD为等腰梯形．3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝(A)A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：如图，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c.4．已知向量a与b不共线，且AB＝λa＋b(λ∈R)，AC＝a＋μb(μ∈R)，则A、B、C三点共线应满足(D)A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：若A，B，C三点共线，则AB＝kAC(k∈R)，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以消去k得λμ＝1，故选D.5．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则(A)A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC解析：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，选A.6．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在(B)A．△ABC内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上解析：∵CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA.∴CP＝λPA.∴P、A、C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．二、填空题7．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝0.解析：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.8．设向量a与b不共线，若AB＝3a＋b，BC＝a＋mb，CD＝2a－b，且A，C，D三点共线，则m＝－3.解析：AC＝AB＋BC＝4a＋(m＋1)b，CD＝2a－b.∵a，b不共线，∴CD≠0，又A，C，D三点共线，∴AC＝nCD(n∈R)，即4a＋(m＋1)b＝2na－nb，∴∴m＝－3.9．如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝(b－a)(用a，b表示)．解析：MN＝MB＋BA＋AN＝－BC＋BA＋AC＝－AD－AB＋(AB＋AD)＝－b－a＋(a＋b)＝b－a＝(b－a)．三、解答题10．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝＝，记BC＝a，CA＝b.求证：DE＝(b－a)．证明：因为AE＝AB＝(CB－CA)＝(－a－b)，AD＝AC＝－b，所以DE＝AE－AD＝－a－b＋b＝(b－a)．11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF.(2)证明：B，E，F三点共线．解：(1)如图所示，延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，则四边形ABGC是平行四边形，则AG＝AB＋AC＝a＋b，所以AD＝AG＝a＋b，AE＝AD＝a＋b.因为F是AC的中点，所以AF＝AC＝b.所以BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝b－a，BF＝AF－AB＝b－a.(2)证明：由(1)可知BE＝(b－2a)，BF＝(b－2a)，所以BE＝BF，即BE，BF是共线向量，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．——能力提升类——12．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝(B)A．2B．3C．4D．5解析：如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得MC＋MB＝MD，又MA＋MB＋MC＝0，则AM＝MD，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，结合MD是平行四边形MBDC的对角线，可知M是△ABC的重心．以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，由向量加法的平行四边形法则，可得AB＋AC＝AF＝2AE＝2×AM＝3AM，则AB＋AC＝3AM.13．已知点P在正三角形ABC所确定的平面上，且满足PA＋PB＋PC＝AB，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为(B)A．11B．12C．13D．14解析：∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PC＝AB－PB＝AP，∴PC＝2AP，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比为12，故选B.14.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为2.解析：AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.15．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC同向，且AD的模为BC模的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
