2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.已知非零向量a，b满足a=-2b，则①a+2b=0；②|a|=2|b|；③向量a，b的方向相同；④a∥b.其中正确的有()A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④【解析】选C.因为a=-2b，所以a，b共线且反向，且a+2b=0，|a|=2|b|，所以①②④正确，③错误.2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若=a，=b，则等于()A.(a+b)B.(a-b)C.(b-a)D.-(a+b)【解析】选C.==(-)=(b-a).3.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=b.【解析】因为|a|=5，|b|=7，所以=.又因为b与a的方向相反，所以a=-b.答案：-4.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k=.【解析】由题意得a=k2e1+e2=λ(2e1+3e2)，所以解得k=-2或k=.答案：-2或5.设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量.【解析】如图，连接AM并延长交BC于D点.因为△ABC的重心为M，所以D是BC的中点，且AM=AD.所以==(+)=(+)=(-)+(-)=(b-a)+(c-b)=-a+b+c，所以=+=a-a+b+c=a+b+c.6.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论.【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c与b是否共线.【解析】b与a+c共线.证明如下：因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0).①因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0).②①-②得a-c=λc-μa，所以(1+μ)a=(1+λ)c.又因为a与c不共线，所以1+λ=1+μ=0，所以λ=μ=-1，所以a+b=-c，即a+c=-b，所以b与a+c共线.
