向量数乘运算及其几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若||=2||且=λ，则λ=()A.2B.-2C.2或-2D.无法确定【解析】选C.当点C在线段AB上时，如图，则=2，即λ=2.当点C在线段AB的延长线上时，与的方向相反，故λ=-2.2.四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中向量a，b不共线，则四边形ABCD为()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】选A.因为=++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2，故AD∥BC且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形.3.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，=3，则()A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题知=+=+=+(-)=-+.【补偿训练】已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，则向量=()A.-B.+C.(-)D.(+)【解题指南】由于O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，可得C是AB的中点.【解析】选D.由已知=+，又=，所以=+=+-，故2=+，=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=______(填正确的序号).①-+；②--；③-；④+.【解析】=-=-.答案：①5.(2015·烟台高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ的值为________.【解析】由=2得-=2(-)，即=+，所以λ=.答案：【一题多解】本题还可以采用以下方法因为=+=+=+(-)=+，所以λ=.答案：【补偿训练】在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD和BC的中点，且=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=________.【解析】=+，=+，故=-+，=-，故=+=+AF，故λ+μ=.答案：三、解答题6.(10分)(2015·萍乡高一检测)如图，平行四边形ABCD中，=b，=a，M为AB中点，点N在BD上，且=，求证：M，N，C三点共线.【证明】在△ABD中，=-，因为=a，=b，所以=b-a.因为N点是BD的三等分点，所以==(b-a).因为=b，所以=-=(b-a)-b=-a-b.①因为M为AB中点，所以=a，所以=-=-(+)=-a-b.②由①②可得：=.由共线向量定理知：∥，又因为与有公共点C，所以C，M，N三点共线.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知向量a，b不共线，c=ka+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D，因为c∥d，所以存在实数λ，使c=λd，所以ka+b=λ(a-b)，所以所以k=λ=-1，所以k=λ=-1且c与d反向.2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O.E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，作FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果.【解析】选D.由题意可得△DEF与△BEA相似，所以==，再由AB=CD可得=，所以=.作FG平行BD交AC于点G.所以==，所以===b，因为=+=+=+==a，所以=+=a+b.二、填空题(每小题5分，共10分)3.若其中a，c，b为已知量，则未知量y=________.【解析】由得2y-a-c-b+y+b=0，即y-a-c+b=0，所以y=a-b+c.答案：a-b+c4.已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=________.【解析】由点M满足++=0，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点.则==××(+)=(+)，所以m=3.答案：3三、解答题5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知非零向量e1，e2不共线，(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.【解题指南】对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使=λ即可；对于(2)，若ke1+e2与e1+ke2共线，则一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2).【解析】(1)因为=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.所以与共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，则(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k=±1.【补偿训练】设两个非零向量e1，e2不共线，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？【解析】设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，因为=-=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+4e2，=2e1+ke2，又因为A，B，D三点共线，所以=λ，所以2e1+ke2=λ(-e1+4e2)，所以，所以k=-8，所以存在k=-8，使得A，B，D三点共线.
