2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、A组1.已知非零向量a,b满足a+4b=0,则()A.|a|+4|b|=0B.a与b是相反向量C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析:∵a+4b=0,∴a=-4b,∴|a|=4|b|,且a与b的方向相反.答案:D2.如图所示,在△ABC中,点D是边AB的中点,则向量=()A.B.C.-D.-解析:∵点D是边AB的中点,∴).∴=-)=-.故选D.答案:D3.设a,b不共线,=a+kb,=ma+b(k,m∈R),则A,B,C三点共线时有()A.k=mB.km-1=0C.km+1=0D.k+m=0解析:若A,B,C三点共线,则共线,∴存在唯一实数λ,使=λ,∴a+kb=λ(ma+b),即a+kb=λma+λb,∴∴km=1.即km-1=0.答案:B4.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析:)=a+b.答案:D5.已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ,其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上解析:∵=λ,∴=λ,∴=λ,∴=λ,∴共线.∴C,P,A三点共线,故选B.答案:B6.化简:3(6a+b)-9=.解析:原式=18a+3b-9a-3b=9a.答案:9a7.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,且=a,=b,则=.解析:=-a+b.答案:-a+b8.导学号08720054在△ABC中,点M为边AB的中点,若,且=x+y(x≠0),则=.解析:∵M为AB的中点,∴).又,∴存在实数λ,使=λ,∴)=,∴x=y=,∴=1.答案:19.(2016·河北定兴三中高一月考)已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,设=a,=b.(1)用向量a与b表示向量;(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解:(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,∴=-a.∴=-a-b,)=2a+(-a+b)=a+b.(2)∵=a+b+(-b)=a+b,假设存在实数λ,使=λ,则有a+b=λ,∴此方程组无解,∴不存在实数λ,满足=λ.∴C,D,E三点不共线.10.如图,设△ABC的重心为M,O为平面上任一点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量.解:如图,连接AM并延长交BC于点D.∵M是△ABC的重心,∴D是BC的中点,且AM=AD.∴)=)=)=b+c-a.∴=a+b+c-a=(a+b+c).二、B组1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=解析:∵m∥n,∴存在λ∈R,使m=λn,即-e1+ke2=λ(e2-2e1).∴∴k=λ=.答案:D2.若O是▱ABCD的中心,=2e1,=3e2,则e2-e1等于()A.B.C.D.解析:e2-e1=)=)=.答案:A3.已知四边形ABCD是菱形,点P在其对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.λ(),λ∈(0,1)B.λ(),λ∈C.λ(),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈解析:由向量加法的运算法则可知,.又点P在线段AC上,故同向,且||<||,所以=λ(),λ∈(0,1).答案:A4.P是△ABC内的一点,),则△ABC的面积与△PBC的面积之比为()A.2B.3C.D.6解析:设BC的中点为D,则=2.∵)=,如图,过A作AE⊥BC,交BC于点E,过P作PF⊥BC,交BC于点F,则.∴=3.答案:B5.已知A,B,C三点共线,=-,且=λ,则实数λ=.解析:∵=-,∴||=|.∵A,B,C三点共线,∴A,B,C的位置如图,即点A为线段BC的三等分点,且|AB|=|AC|.又同向,∴.∴λ=.答案:6.如图,向量的终点在同一直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则r=.解析:∵=-3,∴=-3()=-3+3,∴2=-+3.∴=-,即r=-p+q.答案:-p+q7.(1)设a,b是两个不共线的非零向量,已知=3a-2b,=-2a+4b,=-2a-4b,试判断A,C,D三点是否共线;(2)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,证明这个四边形为梯形.(1)解:∵=(3a-2b)+(-2a+4b)=a+2b,又=-2a-4b=-2(a+2b),∴=-2,从而向量共线,故A,C,D三点共线.(2)证明:∵=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),∴=2.∴共线,且||=2||.∵这两个向量所在直线不重合,∴AD∥BC,且AD=2BC.∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.8.导学号08720055如图,四边形OADB是以向量=a,=b为边的平行四边形.若,试用a,b表示.解:∵=a-b,∴(a-b),∴=b+(a-b)=b+a-b=a+b.又由=a+b,得a+b.=a-b.
