2.2.1向量加法运算及其几何意义课后集训基础达标1.在四边形ABCD中，++等于（）A.B.C.D.解析：++=（+）+=+=，故选C.答案：C2.在△ABC中，必有++等于（）A.0B.0C.任一向量D.与三角形形状有关解析：++=+=0.故应选B.答案：B3.如右图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则+()A.B.C.D.解析：由于D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴=则+=+=，故应选D.答案：D4.已知正方形ABCD的边长为1（如右图），=a,=c,=b,则|a+b+c|等于（）A.0B.3C.D.解析：如右图所示,a+b=c，∴|a+b+c|=2|c|=.∴应选D.答案：D5.如右图所示,O是四边形ABCD对角线的交点,若a+d=c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形B.菱形C.平行四边形D.矩形解析：c+b=，a+d=d+a=∴=.∴ABCD为平行四边形.答案：C6.（1）++=_______________;（2）+++=_______________;（3）（+）+=_______________;（4）（+）++=_______________.解析：（1）++=+（+）=+=+=.（2）+++=+=.（3）（+）+=++=+（+）=+=0.（4）（+）++=（+）++=+=.答案：（1）（2）（3）0（4）综合运用7.下列各式中不能化简为的是（）A.（+）+B.（+）+（+）C.++D.++答案：C8.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是_____________，最小值是_____________.解析：当a、b不共线时，如右图，作=a,=b,则=a+b.由向量加法的几何意义知|a+b|＜|a|+|b|=16.当a、b共线同向时，如下图，作=a，=b，则=a+b，由向量加法的几何意义可知||=|a+b|=|a|+|b|=16.当a、b共线反向时：如下图所示，作=a,=b,则=a+b由向量加法的几何意义可知|a+b|=|b|-|a|=10-6=4，∴|a+b|的最大值为16，最小值为4.答案：1649.某人从点A向东位移60m到达点B，又从点B向东偏北30°方向位移50m到达点C，又从点C向北偏西60°方向位移30m到达点D，选用适当的比例尺作图，求点D相对于点A的位置.解：如右图，构造了三个直角三角形：△CFB,△CED和△DMA.在Rt△CFB中，|CF|=50×sin30°=25,||=50×cos30°=.在Rt△CED中，||=30×cos30°=,||=30×sin30°=15.∴||=||+||=15+25=40.||=||-||=||-||=.∴在Rt△DMA中，||=40，||=60+.∴||=≈87.tan∠DAM==≈0.5173.由计算器计算得∠DAM=27°18′.∴D在A点东偏北27°18′且距A87米处.拓展探究10.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A、C两地相距300km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B、C间的距离.解：如右图，=+,∠BAC=90°,||=||=300,所以||=(km).又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.答:飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B、C两地间的距离为km.备选习题11.（1）若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则a的方向与b的方向必定___________.（2）向量a与向量b反向，则a+b与a的方向是___________.（3）向量a、b满足关系式a+b=b，则a=___________,|a+b|=___________.答案：(1)相同（2）同向或反向（3）0|b|12.设a表示“向东走了2s千米”，b表示“向南走了2s千米”，c表示向西走了2s千米，d表示向北走了2s千米，则（1）a+d表示向____________方向走了____________千米.（2）b+c表示向____________方向走了____________千米.（3）a+c+d表示向____________方向走了____________千米.（4）b+c+d表示向____________方向走了____________千米.答案：（1）东北22s(2)西南22s(3)北2s(4)西2s13.如图1所示，已知O是线段AB的中点，M是平面上任意一点，试证明+=+.图1图2证法1：如图2，过A、B分别作MB、MA的平行线交于M′易知+==+.证法2：因为=+，=+，而+=0，所以易得+=+.14.如下图甲所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.解：如上图乙所示，作出OACB的图形，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°.||=||·cos30°=×300=N,=||sin30°=×300=150N，||=||=150N.则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.15.已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力F1=24N;绳BO与墙壁垂直,所受拉力F2=12N.求F1和F2的合力.解：如右图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F1+F2=.在△OCA中,|F1|=24,||=12,∠OAC=60°,∴△OAC为直角三角形.∴||=24×sin60°=24×.∴F1与F2的合力为N与F2成90°角竖直向上.16.如图(1)（2）,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m.一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1min)?图（1）图（2）解：|v|=km/h,∴t=×60≈3.1min.答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min.
