【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式学业分层测评9二维形式的柯西不等式新人教A版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A．1B．2C.D.4【解析】∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.【答案】C2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3【解析】∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.【答案】C3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()【导学号：32750050】A．P≤QB．PQ【解析】设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.【答案】A4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D.(－，)【解析】(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.【答案】A5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为()A．1B．2C.D.【解析】＋＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.∵a＋b＝1，ab≤＝，∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，∴＋≥＋4＝.【答案】C二、填空题6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．【解析】由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，于是2x＋y≤.【答案】7．设xy＞0，则·的最小值为________．【解析】原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．【答案】98．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．【解析】(x＋2y)＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴＋≥.【答案】三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.【证明】设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.【证明】因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.[能力提升]1．函数y＝＋2的最大值是()A.B.C．3D．5【解析】根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.【答案】B2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是()A.B．1C．3D．9【解析】∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.∴2x＋y的最大值为.【答案】A3．函数f(x)＝＋的最大值为______．【导学号：32750051】【解析】设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝≤(1＋2)＝，∴f(x)≤，当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．【答案】4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．【解】如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．由柯西不等式l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R，当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.
