高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换自主训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.2简单的三角恒等变换自主广场我夯基我达标1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，则cos为()A.-B.±C.-D.±思路解析：由题意，知sin（α-β-α）=,即sin(-β)=.∴sinβ=-.∵β是第三象限角，∴cosβ=-，且是二、四象限角.∴cos=±=±=±.答案：B2.设α、β为钝角，且sinα=，cosβ=,则α+β的值为()A.B.C.D.或思路解析：先求α+β的某种三角函数值.由题意,知cosα=-,sinβ=，∴cos(α+β)=-×()-×=.∵＜α＜π,＜β＜π，∴π＜α+β＜2π.∴α+β=.答案：C3.下列各式中值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C.D.思路解析：将四个选择项分别进行化简得出结果即可.答案：C4.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m且β为第三象限角，则cosβ为()A.B.C.D.思路解析：由题意,知sin(α-β-α)=sin(-β)=m，∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角，∴cosβ=.本题也可用排除法，由β为第三象限角，排除A，C,又m2-1＜0，故选B.答案：B5.(2005重庆高考卷，理13)若α、β为锐角且cos（α+β）=sin(α-β),则tanα=_______________.思路解析：可先将条件利用公式展开，再变形求得.由题意,知cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，即(sinβ+cosβ)cosα=(cosβ+sinβ)sinα.又∵α、β为锐角，∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1.答案：16.若tan(α+)=3+，则=____________.思路解析：先将所求式子变形，再根据条件求解.原式==tanα.(sinα≠0)由tan(α+)==3+,解得tanα=.答案：7.已知sinα=，且α为第二象限角，则tan的值为_________________.思路解析：可将tan化为含sinα、cosα的形式再求解.∵α为第二象限角，∴cosα=，tan=.答案：我综合我发展8.化简：2cos210°-tan5°(1+cos10°)-2sin40°sin80°.思路分析：可将题目所给角化为特殊角或同角的形式再化简求值.解：原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°-cos40°=1+cos20°-sin10°--cos40°=+(cos20°-cos40°)-sin10°=+2sin30°sin10°-sin10°=+sin10°-sin10°=.9.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.（1）θ=0时，求f(x)的单调增区间；（2）θ∈(0,π)且sinx≠0，当θ为何值时，f(x)为偶函数?思路分析：（1）将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式求单调区间；（2）根据偶函数的定义求θ.解：（1）由θ=0，得f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)，由2kπ-≤x+≤2kπ+,得2kπ-≤x≤2kπ+.∴f(x)的单调增区间为［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).（2）∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)恒成立,即sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ),即2sinxcosθ=-2sinxsinθ,即2sinx(cosθ+sinθ)=0.∵sinx≠0，∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=-1.又∵θ∈（0，π），∴θ=.10.把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m(m＞0)个单位，所得图象关于y轴对称，求m的最小值.思路分析：先将原函数化为Asin(ωx+φ)+B的形式，再根据图象的有关知识求m的最小值.解：y=cosx-sinx=-2sin(x-)，向左平移m(m＞0)个单位后的解析式为y=-2sin(x+m-).由于它的图象关于y轴对称，则当x=0时,y取得最值.此时由m-=kπ+,得m=kπ+.又因m＞0,所以当k=0时，m取得最小正值.11.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗?思路分析：利用诱导公式及两角和与差的公式化简即可.解：I′=IA+IB+IC=I［sinωt+sin(ωt+120°)+sin(ωt+240°)］=I［sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)］=I(sinωt+cosωt-sinωt-cosωt-sinωt)=I(sinωt-sinωt)=0.所以电流之和为0.12.有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形.你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗?思路分析：可将矩形面积表示为某个角的三角函数的形式求最值.解：如图，设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.则S矩形PQMN=MN·PN=R（cosθ-sinθ）·Rsinθ=R2（sinθcosθ-sin2θ）=R2（sin2θ-1+cos2θ）=R2［sin(2θ+)］当2θ+=,即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为R2.因此可以这样选点:以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，过P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q，若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.