高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学业分层测评 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.2简单的三角恒等变换(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数f(x)＝－sin2x＋(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】f(x)＝－＋＝cos2x.故选D．【答案】D2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于()A．－B．－C．D．【解析】由题意知sinα＝－，α∈，∴cosα＝－.∵∈，∴sin＝cos＝－＝－.故选B．【答案】B3．设a＝cos7°＋sin7°，b＝，c＝，则有()【导学号：00680077】A．b>a>cB．a>b>cC．a>c>bD．c>b>a【解析】a＝sin37°，b＝tan38°，c＝sin36°，由于tan38°>sin38°>sin37°>sin36°，所以b>a>c.故选A．【答案】A4．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1【解析】∵sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.【答案】C5．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值是()A．1B．2C．＋1D．＋2【解析】f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＝sinx＋cosx＝2sin.∵0≤x<，∴≤x＋<π，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.【答案】B二、填空题6．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos＝________.【解析】由25sin2θ＋sinθ－24＝0，又θ是第二象限角，得sinθ＝或sinθ＝－1(舍去)．故cosθ＝－＝－，由cos2＝得cos2＝.又是第一、三象限角，所以cos＝±.【答案】±7.－＝________.【解析】原式＝＝＝＝4.【答案】4三、解答题8．已知2sin＝sinθ＋cosθ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin2α＋cos2β＝0.【证明】∵2sin＝sinθ＋cosθ，∴(sinα＋cosα)＝sinθ＋cosθ，两边平方得2(1＋sin2α)＝1＋sin2θ，∴sin2θ＝1＋2sin2α.又sin2θ＝2sin2β，∴sin2θ＝1－cos2β，∴1－cos2β＝1＋2sin2α，∴2sin2α＋cos2β＝0，∴sin2α＋cos2β＝0.9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值；(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值.【导学号：70512044】【解】f(x)＝1＋cos2ωx＋sin2ωx－cos2ωx＋a＝sin＋a＋1.(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，得ωx＝kπ＋(k∈Z)．又ω>0，∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为＋a＋1.由＋a＋1＝，得a＝－.[能力提升]1．已知450°<α<540°，则的值是()A．－sinB．cosC．sinD．－cos【解析】因为450°<α<540°，所以225°<<270°，所以cosα<0，sin<0，所以原式＝＝＝＝＝＝＝－sin.故选A．【答案】A2．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.(1)求证：f＝g(x)；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．【解】(1)证明：f(x)＝2cos2＝1＋cosx，g(x)＝2＝1＋2sincos＝1＋sinx.∵f＝1＋cos＝1＋sinx，∴f＝g(x)，命题得证．(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝＝cos.∵x∈[0，π]，∴≤x＋≤，当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．∴函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．