高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换例题与探究 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

3.2简单的三角恒等变换典题精讲例1(江苏高考卷，14)cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=______________.思路分析：熟练运用三角公式计算求值，方法不拘泥,要注意灵活运用.cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°=-2cos40°==2.答案：2绿色通道：在求三角的问题中,要注意这样的规律,即“三看”：(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.变式训练1(福建高考卷，理1)tan15°+cot15°等于()A.2B.C.4D.思路解析：原式===4.答案：C变式训练2计算：coscoscos.思路分析：通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将cos转化为sin，然后再利用二倍角的正弦公式进行求解.将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法，也可将sin转化为cos求解.解：原式=cossin=sin=.例2若sinα=,sinβ=且α、β是锐角，求α+β的值.思路分析：可先求出α+β的某种三角函数值.解：∵α、β是锐角，∴cosα=,cosβ=.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.又∵sinα=＜,sinβ=＜，∴0°＜α＜30°,0°＜β＜30°.∴0°＜α+β＜60°.∴α+β=45°.黑色陷阱：此题在解出sin(α+β)=时，易误认为α+β=45°或α+β=135°.忽视了sinα、sinβ取值对α、β范围的进一步限制.变式训练已知cos(α+)=,≤α＜，求cos(2α+)的值.思路分析：先将cos(2α+)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意cos（α+）=对α+的限制，在求sin(α+)时，会出现两种情况.解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).∵≤α＜，∴≤α+＜.又∵cos(α+)＞0，∴＜α+＜.∴sin(α+)=.∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=,sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.∴原式=×()=.例3(陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析：对于形如asinα+bcosα(a、b不同时为0）的式子引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等.解：(1)f(x)=3sin(2x-)+1-cos2(x-)=2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1=2sin[2(x-)-]+1=2sin(2x-)+1.∴T==π.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z).∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+(k∈Z)}.黑色陷阱：忽视题目中角与角的关系，(2x-)与(x-)是二倍角的关系，从而思维受阻，同时在三角变换上容易出现计算错误.变式训练(重庆高考卷，文17)f(x)=-asincos(π-)的最大值为2，试确定常数a的值.思路分析：首先分析已知函数式的特点和角的特点，再根据三角关系式对f(x)进行化简，再来确定常数.解：f(x)=-asincos(π-)=+asincos=cosx+sinx=sin(x+φ)(其中tanφ=a).由题意有+=4，解得a=±15.问题探究问题1对于三角函数的求值问题可归纳哪些类型?导思：三角函数的求值问题可归纳为三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.需要注意的是无论哪种计算每一步都要注意所给条件，特别是隐含条件对角的范围的限制而引起的值的范围.探究：（1）给角求值，一般所给的角都是非特殊角，需仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角的三角函数求解.（2）给值求值，实质上也是“给角求值”，关键也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示.（3）给值求角，实质上也是“给值求值”，关键是根据条件求出所求角的某种三角函数值，再结合所求角的范围求出角.问题2有关三角函数的最值问题通过探究你能总结一下有哪些方法吗?导思：关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型，需要注意的是无论哪种方法都要注意角的取值范围在解题中引起的某些变量的范围.探究：关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型：（1）形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函数可先降幂再化为Acos(ωx+φ)+B的形式，利用sinα的有界性求最值；（2）形如y=或y=的函数可利用反函数法解出sinα、cosα，利用sinα、cosα的有界性求最值；（3）可化为形如y=a(sinx-b)2+c或y=a(cosx-b)2+c的形式，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx和换元法转化为关于sinx+cosx的最值问题.