第三章3.13.1.1第1课时两角和与差的正弦、余弦A级基础巩固一、选择题1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是(D)A．B．C．D．[解析]由条件可知cosA＝，sinA＝，sinB＝，cosB＝，∴sin(A－B)＝sinA·cosB－cosA·sinB＝×－×＝．2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于(B)A．B．C．－D．－[解析]cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝．3．cos的值等于(C)A．B．C．D．[解析]cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝．4.cos－sin的值是(B)A．0B．C．－D．2[解析]cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝．5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为(A)A．cosxB．sinxC．cos(x＋y)D．cos(x－y)[解析]原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)·siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx．6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝(C)A．－B．－C．D．[解析] α、β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝．二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是．[解析]sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝．8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝－．[解析]由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，cosβ＝－＝－＝－．三、解答题9．化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)[解析](1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－．(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1．10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．[解析]cosθ＝－，θ∈，∴sinθ＝－，∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin＝－×－×＝－．B级素养提升一、选择题1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰非直角三角形[解析]由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，∴△ABC是直角三角形．2．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(B)A．B．C．或D．－[解析] α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B．3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(A)A．0B．C．0或D．0或±[解析]由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0．4.(C)A．－B．－C．D．[解析]＝＝＝＝sin30°＝．二、填空题5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝－．[解析]由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－， 450°<β<540°，∴sinβ＝，∴sin(60°－β)＝×－×＝－．6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝．[解析]由已知，得即解得所以tanα·tanβ＝＝．三、解答题7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝．(1)求cos(α－β)的值；(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．[解析](1) |a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝，又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝．(2) －<β<0<α<，∴0<α－β<π，由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝．8．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、β∈(0，)．求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[解析](1)因为α、β∈(0，)，所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，∴0<α－β<，所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)...
