【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评4相似三角形的性质新人教A版选修4-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1332，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()图1332A.，1B．9,4C.，8D.，16【解析】 D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB.∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝.又 l△ABC＝9，∴l△DEF＝.又 ＝＝，S△DEF＝，∴S△ABC＝1，故选A.【答案】A2．如图1333，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()图1333A．5B．8.2C．6.4D．1.8【解析】由△CBF∽△CDE，得＝，又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8.【答案】D3．如图1334所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()图1334A．1∶3B．1∶9C．1∶15D．1∶16【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.【答案】C4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1335所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是()【导学号：07370017】图1335A．50cmB．500cmC．60cmD．600cm【解析】设屏幕上小树的高度为xcm，则＝，解得x＝60(cm)．【答案】C5．如图1336，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝()图1336A.B.C.D.【解析】 DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝.【答案】D二、填空题6．如图1337，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．图1337【解析】 AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝， D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1， BC＝10，∴AE＝5.【答案】57．如图1338，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1338【解析】因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.【答案】8．(2016·湛江高三调研)如图1339，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则＝________.图1339【解析】 S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，∴2＝＝＝，∴＝.【答案】三、解答题9．如图1340，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.图1340(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．【解】(1)证明： DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又 AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M. △ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝2＝4.又 S△FCD＝5，∴S△ABC＝20. S△ABC＝BC·AM，BC＝10，∴20＝×10×AM，∴AM＝4.又 DE∥AM，∴＝. DM＝DC＝BC＝，BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，∴＝，∴DE＝.10．如图1341，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．图1341【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm. EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，解得x＝(mm)，2x＝(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.[能力提升]1．如图1342所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()图1342A．1∶3B．1∶4C．1∶2D．2∶3【解析】设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝，所以x＝，于是＝.【答案】C2．如图1343，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()图1343A．10B．12C．16D．...
