第1课时函数的单调性A级基础巩固一、选择题1．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是()A．y＝－3x＋2B．y＝C．y＝x2－4x＋5D．y＝3x2＋8x－10解析：显然A、B两项在(0，2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0，2)上也为增函数．答案：D2．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝C．f(x)＝|x|D．f(x)＝2x＋1解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，C，D在(0，＋∞)上都为增函数，B在(0，＋∞)上为减函数．答案：B3．若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.答案：C4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则()A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)解析：选项D中，因为a2＋1＞a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f(a2＋1)＜f(a)．而其他选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．答案：D5．定义在R上的函数，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则()A．f(3)＜f(2)＜f(1)B．f(1)＜f(2)＜f(3)C．f(2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(2)解析：对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3＞2＞1，则f(3)＜f(2)＜f(1)．答案：A二、填空题6．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)________．解析：由y＝f(x)的对称轴是直线x＝，可知f(x)在上递增，由题设知≤－2，解得m≤－16，所以f(1)＝9－m≥25.答案：≥257．已知函数f(x)在定义域[－2，3]上单调递增，则满足f(2x－1)>f(x)的x的取值范围是__________．解析：依题意有－2≤x<2x－1≤3，解得10.②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.③>0.④<0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________(填序号)．解析：依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，因此从①③可推出函数y＝f(x)为增函数．答案：①③三、解答题9．已知函数f(x)＝(1)若f(2)＝f(1)，求a的值；(2)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(2)＝f(1)，所以22＝4－－1，所以a＝－2.(2)因为f(x)是R上的增函数，所以解得4≤a<8.故实数a的取值范围为4≤a＜8.10．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．B级能力提升1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定解析：根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．答案：D2．如图所示的两图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间分别为______________________．解析：由题图①可知，在区间[1，4]和区间(4，6]内，函数y＝f(x)是增函数，由题图②可知，在区间[－1，0]和[1，2]内，y＝g(x)是增函数．故y＝f(x)的单调递增区间是[1，4]和(4，6]，函数y＝g(x)的单调递增区间是[－1，0]和[1，2]．答案：[1，4]和(4，6]，[－1，0]和[1，2]3．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.解：(1)因为f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．因为f(x)是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m≥4.所以不等式的解集为{m|m≥4}．
