高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系课堂探究 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学试题VIP专享VIP免费

1.2.1集合之间的关系课堂探究探究一判断集合之间的关系判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：第一步：明确集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中的元素之间的关系．(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B.(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB.(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有A⃘B，且B⃘A，即集合A，B互不包含．【典型例题1】(1)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A.P⊆N⊆M⊆QB．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆QD．Q⊆N⊆M⊆P(2)有下列关系：①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形，故集合M，N，Q均为P的子集，再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q⊆M⊆N⊆P.(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；②中由空集是任意非空集合的真子集可知∅{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误．综上，应选B.答案：(1)B(2)B探究二确定集合的子集、真子集1．(1)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x∉A.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．(2)若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，也是真子集，用符号A⊆B与AB均可，但用AB更准确．2．与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n；(2)A的真子集的个数为2n－1；(3)A的非空子集的个数为2n－1；(4)A的非空真子集的个数为2n－2.【典型例题2】集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是()A．16B．8C．7D．4解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集的个数为23－1＝7.答案：C【典型例题3】求满足条件{x|x2＋5＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M.思路分析：M是集合{x|x2－1＝0}的子集，又{x|x2＋5＝0}是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求{x|x2－1＝0}的非空子集．解：因为{x|x2＋5＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}．探究三两个集合相等及其应用1．判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同，有两种方法：(1)将两个集合的元素一一列举出来，进行比较；(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两个集合相等．2．两个集合相等的问题一般转化为解方程(组)，但要注意最后需检验，看是否满足集合元素的互异性．3．找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键．【典型例题4】已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．思路分析：A＝B―→列方程组―→解方程组求x，y解： A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．∴或解得或或验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x，y的取值为或探究四根据子集的关系，确定参数的值对于两个集合A，B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A⊆B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．1．分类讨论是指：(1)A⊆B在未指明集合A非空时，应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论．(2)因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数．3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证．验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端...