1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质课时过关·能力提升1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为()A.B.3πC.D.答案:C2.函数f(x)=sincos(2x-π)()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:f(x)=sincos(2x-π)=cosx·(-cos2x)=-cosx·cos2x,于是f(-x)=-cos(-x)·cos(-2x)=-cosx·cos2x=f(x),故f(x)是偶函数.答案:B3.函数y=-cos的单调递增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析:令2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),所以所求函数的增区间为(k∈Z).答案:D4.先把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y1=cosx+1的图象,再向左平移1个单位长度,得y2=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1)的图象,故相应的图象为A.答案:A5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是()A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos答案:D6.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.解析:由y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称知,f=0,即3cos=0.∴+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+(k∈Z).∴|φ|的最小值为.答案:A7.函数y=4cos2x+4cosx-1的值域是.解析:y=4cos2x+4cosx-1=4-2.由于-1≤cosx≤1,所以当cosx=-时,ymin=-2;当cosx=1时,ymax=7,因此函数的值域是[-2,7].答案:[-2,7]8.已知f(n)=cos,n∈N+,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=.答案:-1★9.一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点离地面2m(如图所示),则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)=2)的函数关系式为.解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.在Rt△O1PQ中,cosθ=,所以y(t)=-8cosθ+8.而,所以θ=t,所以y(t)=-8cost+8,所以h(t)=-8cost+10.故填h(t)=-8cost+10.答案:h(t)=-8cost+1010.已知函数f(x)=2cosωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值;(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解:(1)由题意知f(x)的周期T=π,故=π,∴ω=2.∴f(x)=2cos2x.∴f=2cos.(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).★11.已知函数f(x)=-+acosx+sin2x的最大值为2,求实数a的值.解:f(x)=-,且0≤cosx≤1.当0≤≤1,即0≤a≤2时,cosx=时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=.由=2,解得a=3或a=-2,均不合题意,舍去.当<0,即a<0时,cosx=0时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.由=2,解得a=-6.当>1,即a>2时,cosx=1时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-.由=2,解得a=.综上,a的值为-6或.★12.求函数y=sin+cos的周期、单调区间和最值.解:y=sin+cos=cos+cos=cos+cos=2cos,故周期T=.令2kπ≤4x-≤2kπ+π,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,因此,所求函数的单调递减区间为(k∈Z).同理可求得单调递增区间为(k∈Z).因为-1≤cos≤1,所以-2≤2cos≤2.故所求函数的最大值为2,最小值为-2.
