课时7指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1.函数y＝e2x(x∈R)的反函数为()A．y＝2lnx(x>0)B．y＝ln(2x)(x>0)C．y＝lnx(x>0)D．y＝ln(2x)(x>0)答案C解析y＝e2x>0,2x＝lny，x＝lny，∴y＝e2x的反函数为y＝lnx，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是()A．y＝3－3x(x≥0)B．y＝3＋3x(x≤1)C．y＝3＋3x(x≥0)D．y＝3－3x(x≤1)答案D解析 0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.知识点二反函数的性质3.如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是()答案C解析由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.4．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.答案2解析由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.5．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．答案(1,4)解析 y＝f(x)的图像过点(0,1)，∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)．知识点三指数函数与对数函数的综合应用答案A解析7．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．解(1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0，即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，∴f(x)＝log2(1－2x)<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点对反函数的定义理解不清而致误8.已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错分析本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．答案(0,2019)正解 g(x)的图像过定点(1,2018)，∴f(x＋1)的图像过定点(2018,1)．又 f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2019,1)．又 f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2019)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2019)．一、选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是()A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)答案C解析由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)．2．当0
0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为()A．2B.C．2或D．3答案B解析解法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝.解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过点(a，)，即aa＝＝，故a＝.4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是()答案B解析解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性来看，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B.解法二：若01，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．5．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集是()A.B.C．[－2,0)∪D．[－1,0]∪答案C解析由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪.二、填空题6．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“＞”“＝”或“＜”)答案＜解析函数y1＝log3...
