2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A级：基础巩固练一、选择题1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为()A．B．C．D．答案C解析∵|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴向量a与b夹角的大小为.故选C.2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．8答案D解析易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝()A．B．C．D．(1,0)答案B解析设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B.4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．B．C．D．答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得解得即c＝.5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析根据已知，有AB＝(8，－4)，AC＝(2,4)，BC＝(－6，8)，因为AB·AC＝8×2＋(－4)×4＝0，所以AB⊥AC，即∠BAC＝90°.故△ABC为直角三角形．二、填空题6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．答案解析设c＝(x，y)，∵a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝，|c|＝，(a＋b)·c＝，∴(－1，－2)·(x，y)＝.∴－x－2y＝，∴x＋2y＝－.设a与c的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝－.∵0≤θ≤π，∴θ＝.7．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．答案解析∵(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋4a·b－2b2＝2×9＋3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝－14＋3×3×4cos〈a，b〉≥4，∴cos〈a，b〉≥，又∵θ＝〈a，b〉∈[0，π]∴θ＝〈a，b〉∈.8．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案λ>－5且λ≠－解析因a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉>0，且cos〈a，b〉≠1，即a·b＝2＋λ＋3>0，且b≠ka，则λ>－5且λ≠－.三、解答题9．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)，判断由此四点构成的四边形的形状．解因为AB＝(4,0)－(1,2)＝(3，－2)，DC＝(8,6)－(5,8)＝(3，－2)，所以AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．因为AD＝(5,8)－(1,2)＝(4,6)，所以AB·AD＝3×4＋(－2)×6＝0，所以AB⊥AD，所以四边形ABCD是矩形．因为|AB|＝，|AD|＝2，|AB|≠|AD|，所以四边形ABCD不是正方形．综上，四边形ABCD是矩形．10．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.解(1)证明：由题意，知a＋b＝，a－b＝，∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cosα＋sinα＝0，∴tanα＝.又0≤α<2π，∴α＝或α＝.B级：能力提升练1．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．答案解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设F(x,2)，则AE＝(，1)，AF＝(x,2)，AB＝(，0)．所以AB·AF＝x＝，所以x＝1，所以F(1,2)．所以BF＝(1,2)－(，0)＝(1－，2)．所以AE·BF＝.2．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,2)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，并在AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．解(1)OA·OB＝8，设OA与OB的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以OA在OB上的投影为|OA|cosθ＝4×＝2.(2)AB＝OB－OA＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(1－λ)OA－(1－λ)OB＝(λ－1)AB，因为AB与BC有公共点B，所以A，B，C三点共线．当AB＝BC时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC|2＝(1－λ)2OA2＋2λ(1－λ)OA·OB＋λ2OB2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12.所以当λ＝时，|OC|取到最小值2.
