2.4向量的应用课时跟踪检测[A组基础过关]1．在四边形ABCD中，AB·(BD－CD)＝0，且AB＝2DC，则四边形ABCD为()A．矩形B.菱形C．直角梯形D.平行四边形解析：由AB·(BD－CD)＝0，得AB·BC＝0，∴AB⊥BC，由AB＝2DC知AB∥DC，且AB≠DC，∴四边形ABCD是直角梯形．答案：C2．直线l1：2x－y＋3＝0与l2：3x－y＋5＝0夹角的余弦值为()A.B.C．－D.－解析：设l1的方向向量a＝(1,2)，l2的方向向量b＝(1,3)，∴cosθ＝＝＝＝.答案：A3．已知直线l：mx＋2y＋16＝0，向量n＝(1－m,1)，若n∥l，则直线l的一个法向量为()A．(－2,2)B.(1,2)C．(2,1)D.(2,2)答案：D4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为()A．(5,1)B.(－5,1)C．(5，－1)D.(－5，－1)解析：由题设F1＋F2＋F3＝0，得(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝(0,0)，即∴∴F3＝(－5,1)．答案：B5．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅直线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是()A．1∶B.∶1C．1∶D.∶1解析：由物理知识得，|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°，∴|F甲|∶|F乙|＝∶1，故选D.答案：D6．已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，∴k＝－2或k＝11(舍)．则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案：2x＋y－3＝07．若等边三角形ABC的边长为2，该三角形所在平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则1MA·MB等于________．解析：CM＝CB＋CA，MA·MB＝(CA－CM)·(CB－CM)＝·＝CA·CB－CA2－CB2＋CB·CA＝CA·CB－CA2－CB2＝×2×2×－×(2)2－×(2)2＝－2.答案：－28．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．(1)求AB·AC和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；(2)若M为BC边的中点，求|AM|.解：(1)由题知，AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，∴AB·AC＝(3，－1)·(－1，－3)＝－3＋3＝0.根据夹角公式cos∠ACB＝cos〈CA，CB〉＝.∵CA＝(1,3)，CB＝(4,2)，∴cos∠ACB＝＝.∵∠ACB∈(0，π)，∴∠ACB＝.∵AB·AC＝0，∴AB⊥AC，即AB⊥AC.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)∵M为BC的中点，∴M(2,0)，∴AM＝(1，－2)，∴|AM|＝＝.[B组技能提升]1．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.解析：设BA＝a，BC＝b，∴DE＝AC＝(b－a)，DF＝DE＝(b－a)，AF＝AD＋DF＝－a＋(b－a)＝－a＋b，∴AF·BC＝－a·b＋b2＝－＋＝，故选B.答案：B2．设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM等于()A．20B.15C．9D.6解析：AM·NM＝(AB＋BM)·(NC＋CM)＝·＝AB2－AB·BC＋AB·BC－BC2＝×36－×16＝9.故选C.答案：C3．一条河宽为400m，一船从A点出发航行垂直到达河对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需的时间为________．解析：|v船|cos〈v船，v水〉＝－12，∴cos〈v船，v水〉＝－，∴|v船|sin〈v船，v水〉＝20×＝16km/h＝m/min，∴t＝400÷＝1.5min.答案：1.5min4．已知线段AB为圆O的弦，且AB＝4，则AO·AB＝________.2解析：取AB的中点为D，OD⊥AB，则AO·AB＝(AD＋DO)·AB＝AD·AB＋DO·AB＝8.答案：85.如图所示，一物体所受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．解：设OA，OB分别表示两力，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则OC为合力，即OC＝OA＋OB.∴|OC|2＝(OA＋OB)2＝|OA|2＋2OA·OB＋|OB|2＝602＋2×60×60×cos60°＋602＝3600×3，∴|OC|＝60.又cos∠COA＝＝＝＝，而0°≤∠COA≤180°，∴∠COA＝30°.故合力的大小为60N，方向与水平方向成30°.6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，CE＝CB，CF＝CD.(1)用a，b表示EF；(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求|EF|和AC·FE的值．解：(1)EF＝CF－CE＝CD－CB＝－AB＋AD＝－a＋b.(2)∵|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，∴a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2.∴|EF|＝＝＝.由(1)得，AC·FE＝(a＋b)·＝a2＋a·b－b2＝＋－＝－4.34
