2.3.2向量数量积的运算律课后拔高提能练一、选择题1．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a－3b|＝()A．B．C．D．4解析：选A|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝1－6×1×1×＋9＝7.∴|a－3b|＝，故选A．2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：选B由题可得a·b＝0，由c⊥d，得c·d＝(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0.∴k＝6.故选B．3．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于()A．25B．24C．－25D．－24解析：选C∵|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，∴|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，∴∠ABC＝90°，∴AB·BC＝0，∴原式＝BC·CA＋CA·AB＝CA·(AB＋BC)＝CA·AC＝－25.4．已知单位向量α、β满足(α＋2β)·(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为()A．－B．C．D．解析：选B设α与β的夹角为θ，由题得2α2－2β2＋3α·β＝2－2＋3cosθ＝1.∴cosθ＝.5．设a，b，c是三个向量，以下命题中真命题的序号是()A．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝cB．若a·b＝0，则a＝0或b＝0C．若a，b，c互不共线，则(a·b)·c＝a·(b·c)D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2解析：选DA中，当b，c同时与a垂直，但不相等，也满足a·b＝a·c，不正确；B中，a·b＝0⇔a⊥b，不一定有a＝0或b＝0，不正确；C中，a·(b·c)与a共线，(a·b)·c与c共线，又a与c不共线，故(a·b)·c≠a·(b·c)，不正确；D正确．6．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A．－15B．－9C．－6D．0解析：选C如图所示，连接MN，由BM＝2MA，CN＝2NA可知点M、N分别为线段AB、AC上靠近点A的三等分点，则BC＝3MN＝3(ON－OM)，由题意可知，OM2＝12＝1，OM·ON＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－3OM2＝－3－3＝－6.故选C．二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.解析：设O点为AC与BD的交点，∴AP·AC＝|AP|·|AC|cos∠PAC＝|AP|·2|AO|cos∠PAC＝2|AP|2＝18.答案：188．在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若在直角三角形ABC中，AB＝i＋j，AC＝2i＋mj，则实数m＝________.解析：若∠A为直角，则AB·AC＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0，得m＝－2；若∠B为直角，∵BC＝AC－AB＝i＋(m－1)j，则AB·BC＝1＋m－1＝0，得m＝0；若∠C为直角，∴AC·BC＝2＋m(m－1)＝0，即m2－m＋2＝0，方程无解．∴m的值为－2或0.答案：－2或09．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．解析：解法一：根据平面向量的数量积公式DE·CB＝DE·DA＝|DE||DA|cosθ，由图可知，|DE|·cosθ＝|DA|.因此DE·CB＝|DA|2＝1，DE·DC＝|DE||DC|cosα＝|DE|cosα，而|DE|cosα就是向量DE在DC边上的射影，要想让DE·DC最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为DC，所以长度为1.解法二：DE·CB＝(DA＋AE)·CB＝DA·CB＋AE·CB＝DA2＝1.DE·DC＝(DA＋AE)·DC＝DA·DC＋AE·DC＝|AE||DC|cos0°＝|AE|，∴当|AE|＝1时，DE·DC最大，此时E点与B点重合．答案：11三、解答题10．若平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，(a－b)⊥a.(1)求a与b的夹角；(2)求|2a＋b|.解：(1)由(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，∴a2－b·a＝0.∴a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝.(2)|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4×2＋4×2＋4＝20.∴|2a＋b|＝2.11．在△ABC中，中线AM＝2.(1)若OA＝－2OM，求证：OA＋OB＋OC＝0；(2)若P为中线AM上的一个动点，求PA·(PB＋PC)的最小值．解：(1)证明：因为M是BC的中点，所以OM＝(OB＋OC)，代入OA＝－2OM，得OA＝－OB－OC，即OA＋OB＋OC＝0.(2)设|AP|＝x，即|PM|＝2－x(0≤x≤2)．因为M是BC的中点，所以PB＋PC＝2PM.所以PA·(PB＋PC)＝2PA·PM＝－2|PA||PM|＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，当x＝1时，取最小值－2.12．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．解：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．(2)证明：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－·b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
