2.3.1平面向量基本定理A级：基础巩固练一、选择题1．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e1，DC＝e2，则OC＝()A.(e1＋e2)B.(e1－e2)C.(2e2－e1)D.(e2－e1)答案A解析因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e1，DC＝e2，所以OC＝(BC＋DC)＝(e1＋e2)．故选A.2．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，又AP＝tAB，则t的值为()A.B.C.D.答案A解析CP－CA＝(CB－CA)＝AB，即AP＝AB.又∵AP＝tAB，∴t＝.故选A.3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝3PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝答案D解析由已知BP＝3PA，得OP－OB＝3(OA－OP)，整理，得OP＝OA＋OB，故x＝，y＝.4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连接CF并延长交AB于E，则等于()A.B.C.D.答案D解析设AB＝a，AC＝b，＝λ.∵＝，∴CF＝CA＋AF＝CA＋AD＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC＝a－b.CE＝CA＋AE＝CA＋AB＝AB－AC＝a－b.又CF与CE共线，可设CF＝kCE，则a－b＝k，∴得故选D.5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝，则点P一定为()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．△ABC的重心D．AB边的中点答案B解析∵O是△ABC的重心，∴OA＋OB＋OC＝0，∴OP＝＝OC，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.二、填空题6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案－2或解析由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.答案解析在△ABH中，BH＝AB＝1，∵BC＝3，∴BH＝BC.∴AH＝AB＋BH＝AB＋BC.∵M为AH的中点，∴AM＝AH＝AB＋BC.∵AM＝λAB＋μBC，∴λ＋μ＝＋＝.8．如图，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则在以a，b为基底时，AC可表示为________，在以a，c为基底时，AC可表示为________．答案a＋b2a＋c解析以a，c为基底时，将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．三、解答题9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．解如图，设AC＝a，BC＝b，D，E，F分别为三角形ABC三边的中点，则AB＝a－b，AD＝a－b，BE＝－a＋b.设AD与BE交于点G1，且AG1＝λAD，BG1＝μBE，则AG1＝λa－b，BG1＝－a＋μb.因为AG1＝AB＋BG1＝a＋(μ－1)b.所以解得λ＝μ＝，即AG1＝AD.再设AD与CF交于点G2，同理可得AG2＝AD.故点G1，G2重合，即AD，BE，CF交于同一点，故三角形的三条中线交于一点．10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴⇒∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.B级：能力提升练1．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为()A.B.C.D.答案C解析∵CF＝CD，CD＝a－b.∴AF＝AC＋CF＝b＋CD＝b＋＝a＋b，故x＝，y＝.2．如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求及的值．解设＝λ，＝μ.∵BD＝DC，即AD－AB＝AC－AD.∴AD＝(AB＋AC)．又∵AG＝λGD＝λ(AD－AG)，∴AG＝AD＝AB＋AC.又∵BG＝μGE，即AG－AB＝μ(AE－AG)，∴(1＋μ)AG＝AB＋μAE，AG＝AB＋AE.又AE＝AC，∴AG＝AB＋AC.∵AB，AC不共线，∴解之，得∴＝4，＝.
