2.3.1向量数量积的物理背景与定义课后拔高提能练一、选择题1．下列结论正确的是()A．单位向量都相等B．对于任意a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|C．若a∥b，则一定存在实数λ，使a＝λbD．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选B单位向量的模相等，但方向可能不同，A错；若a∥b时，b≠0，则一定存在实数λ，使a＝λb，C错；若a·b＝0，若a与b为非零向量，a⊥b，D错，B正确．2．下列命题中正确的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若a＝0，则对任何一个非零向量b，有a·b＝0C．若向量a，b满足a·b＞0，则〈a，b〉为锐角D．若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影长答案：B3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：选D解法一：特值法．不妨设AB＝5，cosA＝，∴AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝5×4×＝16，故选D．解法二：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝|AB|cosA·|AC|＝|AC|2＝16.4．已知等边△ABC的边长为4，则AB·BC等于()A．8B．－8C．8C．－8解析：选B∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AB·BC＝|AB|·|BC|cos(180°－60°)＝4×4×＝－8.5．在△ABC中，AB＝a，AC＝b，当a·b＜0时，△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：选C∵AB＝a，AC＝b，∴〈a，b〉＝∠BAC.又a·b＜0.∴cos〈a，b〉＜0，即cos∠BAC＜0.又∠BAC∈(0，π)，∴∠BAC∈，即∠BAC为钝角，∴△ABC为钝角三角形．6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．B．C．D．解析：选C如图，在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，∵|a＋b|＝|a－b|，∴四边形ABCD为矩形．在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，∴∠ABD＝.∴a＋b和a－b的夹角为.二、填空题7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝__________.解析：由题意得a·b＝|a||b|cos30°＝2××＝3.答案：38．已知|a|＝4，且a·b＝16，若a在b方向上的射影数量为4，则|b|＝________.解析：由题可得：|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝4.∴|b|＝4.答案：49．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则a在b上的正射影的数量为________．解析：a在b方向上的正射影为＝.答案：三、解答题10．已知向量a与向量b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b.(1)θ＝135°；(2)a∥b；(3)a⊥b.解：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×＝－3.(2)当a，b同向时，a·b＝|a||b|cos0°＝6；当a，b反向时，a·b＝|a||b|cos180°＝－6.(3)a⊥b，则a·b＝0.11．边长为1的正三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．解：a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－.12．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点，求：(1)BA在CD方向上正射影的数量；(2)CD在BA方向上正射影的数量．解：如图所示，连接AD，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D是BC的中点，所以AD⊥BC，∠C＝30°.所以CD＝＝＝＝.延长CB至E，可知BA与CD的夹角为∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－30°＝150°.(1)BA在CD的方向上正射影的数量是|BA|cos150°＝2×＝－.(2)CD在BA的方向上正射影的数量是|CD|cos150°＝×＝－.
