高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义练习 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时分层训练1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB．ADC．BCD．BC解析：选AEB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.故选A．2．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b解析：选DAD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.故选D.3．已知实数m，n和向量a，b，给出下列说法：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选B易知①和②正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故④正确．故选B.4．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量AB＝a－kb，CB＝2a＋b，CD＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．10B．－10C．2D．－2解析：选C因为A，B，D三点共线，所以AB＝λBD＝λ(CD－CB)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.故选C．5．(2019·江西临川一中月考)设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．一定不平行D．不能判断两个向量的关系解析：选AAD＋BE＋CF＝AB＋BD＋BC＋CE＋BF－BC＝AB＋BC＋BC－AC－AB－BC＝(AB－AC)＋BC＝CB＋BC＝－BC，故选A．6．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|. |a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.答案：±7．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，则x＋y的值为________．解析：由于A，B，P三点共线，所以向量AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP＝λAB，即OP－OA＝λ(OB－OA)，所以OP＝(1－λ)OA＋λOB，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.答案：18．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|OD＋2OE|＝1，则|OA＋2OB＋3OC|＝________.解析：如图所示，易知|OA＋2OB＋3OC|＝|OA＋OC＋2(OB＋OC)|＝|2OD＋4OE|＝2|OD＋2OE|＝2.答案：29．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)将AD用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以根据数乘向量的定义，知AD与BC同向，且|AD|＝2|BC|，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．10．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．解：(1)证明： AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.∴AB，BD共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2) ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.1．若点O为▱ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1＝()A．BOB．AOC．COD．DO解析：选A BD＝AD－AB＝BC－AB＝3e2－2e1，∴BO＝BD＝e2－e1.故选A．2．设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则＝()A．B．C．D．解析：选D如图，设AM＝AB，AN＝AC，连接PM，PN，则AP＝AM＋AN，易知四边形AMPN为平行四边形，则NP∥AB，所以＝＝.同理＝，故＝.故选D.3．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：选B如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，连接MD，交BC于点E，依据向量加法的平行四边形法则可得MC＋MB＝MD，又MA＋MB＋MC＝0，则AM＝MD，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，连接DF，易知A，D，F三点共线．依据向...